Jika f(x)=cos x dan g(x)=4 csc x, maka d(gof)(x)/dx= ....

4 sin(x) csc(cos(x)) cot(cos(x))

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari komposisi fungsi g(f(x)), kita gunakan aturan rantai.

Diketahui:
$f(x) = \cos x$
$g(x) = 4 \csc x$

Pertama, kita cari komposisi $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(\cos x)$
Karena $g(x) = 4 \csc x$, maka $g(\cos x) = 4 \csc(\cos x)$

Sekarang, kita cari turunan dari $g(f(x))$ terhadap $x$, yaitu $\frac{d}{dx} [4 \csc(\cos x)]$.
Kita gunakan aturan rantai: $\frac{d}{dx} [h(k(x))] = h'(k(x)) \cdot k'(x)$.
Di sini, $h(u) = 4 \csc u$ dan $k(x) = \cos x$.

Turunan dari $h(u) = 4 \csc u$ adalah $h'(u) = -4 \csc u \cot u$.
Turunan dari $k(x) = \cos x$ adalah $k'(x) = -\sin x$.

Menggunakan aturan rantai:
$\frac{d}{dx} [4 \csc(\cos x)] = h'(k(x)) \cdot k'(x)$
$= [-4 \csc(\cos x) \cot(\cos x)] \cdot [-\sin x]$
$= 4 \sin x \csc(\cos x) \cot(\cos x)$

Kita bisa menyederhanakannya lebih lanjut menggunakan definisi $\csc u = \frac{1}{\sin u}$ dan $\cot u = \frac{\cos u}{\sin u}$:
$= 4 \sin x \cdot \frac{1}{\sin(\cos x)} \cdot \frac{\cos(\cos x)}{\sin(\cos x)}$
$= \frac{4 \sin x \cos(\cos x)}{\sin^2(\cos x)}$

Atau bisa juga ditulis sebagai:
$= 4 \sin x \csc(\cos x) \cot(\cos x)$