Jika garis y=2x+1 dirotasi pada titik O(0,0) sejauh 30 maka

y = (-8 - 5√3)x - 2√3 - 4

Pembahasan

Untuk menentukan peta dari garis y = 2x + 1 setelah dirotasi pada titik O(0,0) sejauh 30°, kita perlu menggunakan rumus transformasi rotasi.

Misalkan titik (x, y) adalah titik pada garis awal, dan (x', y') adalah bayangannya setelah rotasi.

Rumus rotasi sebesar θ berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal O(0,0) adalah:
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ

Dalam kasus ini, θ = 30°. Kita tahu bahwa cos 30° = √3/2 dan sin 30° = 1/2.

x' = x(√3/2) - y(1/2)
y' = x(1/2) + y(√3/2)

Sekarang, kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y' untuk mensubstitusikannya ke dalam persamaan garis awal.

Kalikan kedua persamaan dengan 2:
2x' = x√3 - y
2y' = x + y√3

Untuk mengeliminasi y, kalikan persamaan pertama dengan √3:
2√3x' = 3x - y√3

Tambahkan hasil ini dengan persamaan kedua:
2√3x' + 2y' = (3x - y√3) + (x + y√3)
2√3x' + 2y' = 4x
x = (2√3x' + 2y') / 4
x = (√3x' + y') / 2

Untuk mengeliminasi x, kalikan persamaan kedua dengan √3:
2√3y' = x√3 + 3y

Kurangkan persamaan pertama dari hasil ini:
2√3y' - 2x' = (x√3 + 3y) - (x√3 - y)
2√3y' - 2x' = 4y
y = (2√3y' - 2x') / 4
y = (√3y' - x') / 2

Sekarang, substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis y = 2x + 1:
(√3y' - x') / 2 = 2 * [(√3x' + y') / 2] + 1
(√3y' - x') / 2 = (√3x' + y') + 1

Kalikan kedua sisi dengan 2:
√3y' - x' = 2(√3x' + y') + 2
√3y' - x' = 2√3x' + 2y' + 2

Susun ulang persamaan untuk mendapatkan bentuk y' = mx + c:
√3y' - 2y' = 2√3x' + x' + 2
y'(√3 - 2) = (2√3 + 1)x' + 2

y' = [(2√3 + 1) / (√3 - 2)]x' + [2 / (√3 - 2)]

Untuk menyederhanakan penyebut, kalikan dengan sekawannya (√3 + 2):

Koefisien x':
(2√3 + 1)(√3 + 2) / ((√3 - 2)(√3 + 2))
= (2*3 + 4√3 + √3 + 2) / (3 - 4)
= (6 + 5√3 + 2) / (-1)
= (8 + 5√3) / (-1)
= -8 - 5√3

Konstanta:
2(√3 + 2) / ((√3 - 2)(√3 + 2))
= (2√3 + 4) / (3 - 4)
= (2√3 + 4) / (-1)
= -2√3 - 4

Jadi, persamaan bayangan garisnya adalah:
y' = (-8 - 5√3)x' - 2√3 - 4

Atau dalam bentuk y = mx + c:
y = (-8 - 5√3)x - 2√3 - 4