Jika I matriks satuan dan matriks A=(2 1 -4 3) sehingga

-5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep matriks identitas, operasi matriks, dan penyelesaian persamaan matriks.

Diketahui:
Matriks A = [[2, 1], [-4, 3]]
I adalah matriks identitas.
Persamaan: A^2 = pA + qI

Langkah 1: Hitung A^2
A^2 = A * A = [[2, 1], [-4, 3]] * [[2, 1], [-4, 3]]
A^2 = [[(2*2 + 1*(-4)), (2*1 + 1*3)], [(-4*2 + 3*(-4)), (-4*1 + 3*3)]]
A^2 = [[(4 - 4), (2 + 3)], [(-8 - 12), (-4 + 9)]]
A^2 = [[0, 5], [-20, 5]]

Langkah 2: Tulis bentuk pA + qI
Matriks identitas I berukuran 2x2 karena A berukuran 2x2. Jadi, I = [[1, 0], [0, 1]].
pA = p * [[2, 1], [-4, 3]] = [[2p, p], [-4p, 3p]]
qI = q * [[1, 0], [0, 1]] = [[q, 0], [0, q]]

pA + qI = [[2p, p], [-4p, 3p]] + [[q, 0], [0, q]] = [[2p + q, p], [-4p, 3p + q]]

Langkah 3: Samakan A^2 dengan pA + qI
Kita punya:
[[0, 5], [-20, 5]] = [[2p + q, p], [-4p, 3p + q]]

Dari kesamaan elemen matriks, kita dapatkan beberapa persamaan:
1. Elemen baris 1, kolom 1: 0 = 2p + q
2. Elemen baris 1, kolom 2: 5 = p
3. Elemen baris 2, kolom 1: -20 = -4p
4. Elemen baris 2, kolom 2: 5 = 3p + q

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan untuk mencari p dan q.
Dari persamaan (2), kita langsung mendapatkan p = 5.

Mari kita cek dengan persamaan (3): -20 = -4p => p = -20 / -4 = 5. Konsisten.

Sekarang, substitusikan p = 5 ke persamaan (1) untuk mencari q:
0 = 2(5) + q
0 = 10 + q
q = -10

Mari kita cek dengan persamaan (4): 5 = 3p + q
5 = 3(5) + (-10)
5 = 15 - 10
5 = 5. Konsisten.

Jadi, kita menemukan p = 5 dan q = -10.

Langkah 5: Hitung p + q
p + q = 5 + (-10) = 5 - 10 = -5.

Jadi, nilai p + q adalah -5.