Jika p(x)=x^3+2x^2-x-2, buktikanlah bahwa (x+2) habis

Terbukti $(x+2)$ habis membagi $p(x)$ karena $p(-2)=0$. Faktorisasi $p(x)$ adalah $(x+2)(x-1)(x+1)$.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $(x+2)$ habis membagi $p(x) = x^3+2x^2-x-2$, kita dapat menggunakan Teorema Sisa atau Teorema Faktor. Jika $p(a) = 0$, maka $(x-a)$ adalah faktor dari $p(x)$. Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor, yang berarti $x = -2$ adalah akar dari $p(x)$.

Langkah 1: Substitusikan $x = -2$ ke dalam $p(x)$.
$p(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2$
$p(-2) = -8 + 2(4) + 2 - 2$
$p(-2) = -8 + 8 + 2 - 2$
$p(-2) = 0$

Karena $p(-2) = 0$, maka berdasarkan Teorema Faktor, $(x+2)$ habis membagi $p(x)$.

Langkah 2: Faktorkan $p(x)$ menggunakan pembagian polinomial atau metode horner karena kita sudah tahu salah satu faktornya adalah $(x+2)$.

Menggunakan Metode Horner:
Koefisien $p(x) = x^3+2x^2-x-2$ adalah 1, 2, -1, -2. Akar pembaginya adalah -2.

```
-2 | 1   2   -1   -2
   |    -2    0    2
   ------------------
     1   0   -1    0
```

Baris hasil (1, 0, -1) merupakan koefisien dari hasil bagi, yang merupakan polinomial berderajat satu lebih rendah dari $p(x)$. Jadi, hasil baginya adalah $1x^2 + 0x - 1 = x^2 - 1$.

Langkah 3: Faktorkan hasil bagi jika memungkinkan.
Hasil bagi adalah $x^2 - 1$. Ini adalah bentuk selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x+1)$.

Jadi, faktorisasi lengkap dari $p(x)$ adalah:
$p(x) = (x+2)(x^2 - 1)$
$p(x) = (x+2)(x-1)(x+1)$

Kesimpulan:
Terbukti bahwa $(x+2)$ habis membagi $p(x) = x^3+2x^2-x-2$, dan faktorisasi lengkap dari $p(x)$ adalah $(x+2)(x-1)(x+1)$.