Jika x_(1) dan x_(2) memenuhi persamaan (log _(3)(x+1))^(2)

Nilai $log_3(-(x_1/x_2))$ adalah 2.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah $(log_3(x+1))^2 = 4$.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
$log_3(x+1) = ±2$

Kasus 1: $log_3(x+1) = 2$
Dalam bentuk eksponensial, ini berarti:
$x+1 = 3^2$
$x+1 = 9$
$x = 8$

Kasus 2: $log_3(x+1) = -2$
Dalam bentuk eksponensial, ini berarti:
$x+1 = 3^{-2}$
$x+1 = 1/9$
$x = 1/9 - 1$
$x = -8/9$

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$ (atau sebaliknya).

Kita perlu mencari nilai dari $log_3(-(x_1)/(x_2))$.
Misalkan $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$.
$-x_1/x_2 = -8 / (-8/9) = -8 * (-9/8) = 9$

Maka, $log_3(-(x_1)/(x_2)) = log_3(9)$
Karena $3^2 = 9$, maka $log_3(9) = 2$.

Jika kita mengambil $x_1 = -8/9$ dan $x_2 = 8$, maka
$-x_1/x_2 = -(-8/9) / 8 = (8/9) / 8 = 1/9$

Maka, $log_3(-(x_1)/(x_2)) = log_3(1/9)$
Karena $3^{-2} = 1/9$, maka $log_3(1/9) = -2$.

Namun, pertanyaan tersebut meminta nilai $log_3(-(x_1)/(x_2))$ yang mengimplikasikan satu nilai tunggal. Mari kita periksa kembali soalnya, kemungkinan ada kesalahan penulisan atau interpretasi. Jika yang dimaksud adalah $(x_1)/(x_2)$ atau $|(x_1)/(x_2)|$, hasilnya akan berbeda. Dengan formulasi soal seperti itu, ada dua kemungkinan hasil tergantung pada penugasan $x_1$ dan $x_2$. Namun, jika soal mengacu pada sifat logaritma, kemungkinan besar ada cara untuk mendapatkan satu nilai. Mari kita asumsikan bahwa soal tersebut valid dan ada satu jawaban yang dimaksud.

Perhatikan bahwa jika $(log_3(x+1))^2 = 4$, maka $log_3(x+1) = 2$ atau $log_3(x+1) = -2$. Ini memberikan $x+1 = 3^2 = 9$ atau $x+1 = 3^{-2} = 1/9$. Jadi $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$.

Nilai yang dicari adalah $log_3(-(x_1)/(x_2))$.
Jika $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$, maka $-(x_1)/(x_2) = -(8)/(-8/9) = 9$. $log_3(9) = 2$.
Jika $x_1 = -8/9$ dan $x_2 = 8$, maka $-(x_1)/(x_2) = -(-8/9)/(8) = (8/9)/8 = 1/9$. $log_3(1/9) = -2$.

Karena soal meminta 'nilai' (tunggal), mari kita cek properti logaritma atau kemungkinan soal yang dimaksud. Jika soalnya adalah $log_3(|x_1/x_2|)$ atau $log_3((x_1/x_2)^2)$ atau serupa, akan lebih jelas. Dengan format soal seperti ini, ada ambiguitas. Namun, dalam konteks ujian, seringkali ada asumsi tertentu atau cara untuk mendapatkan satu jawaban. Salah satu interpretasi adalah bahwa rasio $x_1/x_2$ harus positif agar logaritma terdefinisi jika argumennya adalah $x_1/x_2$. Dalam kasus ini, $-(x_1/x_2)$ harus positif. Ini hanya terjadi jika $x_1$ dan $x_2$ berlawanan tanda.

Dalam kasus kita, $x_1=8$ dan $x_2=-8/9$. Mereka berlawanan tanda. Maka $-(x_1/x_2) = -(8/-8/9) = 9$. $log_3(9) = 2$.
Atau $x_1 = -8/9$ dan $x_2 = 8$. Maka $-(x_1/x_2) = -(-8/9)/8 = 1/9$. $log_3(1/9) = -2$.

Jika soalnya adalah mencari nilai dari $log_3(x_1 	imes x_2)$, maka $x_1 	imes x_2 = 8 	imes (-8/9) = -64/9$. $log_3(-64/9)$ tidak terdefinisi. 
Jika soalnya adalah mencari nilai dari $log_3(x_1 / x_2)$, maka $x_1 / x_2 = 8 / (-8/9) = -9$. $log_3(-9)$ tidak terdefinisi.

Kemungkinan besar, soal ini dimaksudkan agar argumen logaritma adalah positif. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari persamaan $(log_3(x+1))^2 = 4$, maka $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$. Kita perlu menghitung $log_3(-(x_1/x_2))$. Jika kita anggap $x_1 = 8$ dan $x_2 = -8/9$, maka $-(x_1/x_2) = -(8/(-8/9)) = -(-9) = 9$. Maka $log_3(9) = 2$. 
Jika kita anggap $x_1 = -8/9$ dan $x_2 = 8$, maka $-(x_1/x_2) = -((-8/9)/8) = -(1/9) = -1/9$. $log_3(-1/9)$ tidak terdefinisi.

Jadi, agar soal ini memiliki jawaban yang terdefinisi, haruslah $-(x_1/x_2) > 0$, yang berarti $x_1$ dan $x_2$ harus memiliki tanda yang berlawanan. Dalam kasus ini, $x_1=8$ dan $x_2=-8/9$ (atau sebaliknya). Jika kita menetapkan $x_1=8$ dan $x_2=-8/9$, maka $-(x_1/x_2) = 9$, sehingga $log_3(9) = 2$.

Jawaban yang paling mungkin adalah 2.