Koperasi Sukamaju menyediakan dua jenis pupuk, yaitu pupuk

Biaya minimum adalah Rp 224.000,00.

Pembahasan

Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep program linear untuk mencari biaya minimum.

Misalkan:
x = jumlah karung pupuk ekonomis
y = jumlah karung pupuk super

Fungsi tujuan (yang ingin diminimalkan) adalah biaya:
Biaya = 30.000x + 50.000y

Kendala yang dihadapi Pak Budi:
1. Kebutuhan nitrogen minimal 16 kg:
2x + 4y ≥ 16 (atau x + 2y ≥ 8)
2. Kebutuhan fosfat minimal 24 kg:
4x + 3y ≥ 24
3. Jumlah karung tidak boleh negatif:
x ≥ 0
y ≥ 0

Untuk mencari biaya minimum, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang memenuhi kendala tersebut. Kita cari titik potong dari garis-garis kendala:

Dari x + 2y = 8, jika x=0 maka 2y=8 => y=4. Titik (0, 4).
Dari x + 2y = 8, jika y=0 maka x=8. Titik (8, 0).

Dari 4x + 3y = 24, jika x=0 maka 3y=24 => y=8. Titik (0, 8).
Dari 4x + 3y = 24, jika y=0 maka 4x=24 => x=6. Titik (6, 0).

Sekarang cari titik potong antara x + 2y = 8 dan 4x + 3y = 24.
Kalikan persamaan pertama dengan 4:
4(x + 2y) = 4(8) => 4x + 8y = 32
Kurangkan persamaan 4x + 3y = 24 dari 4x + 8y = 32:
(4x + 8y) - (4x + 3y) = 32 - 24
5y = 8
y = 8/5 = 1.6

Substitusikan y = 1.6 ke x + 2y = 8:
x + 2(1.6) = 8
x + 3.2 = 8
x = 8 - 3.2 = 4.8
Titik potongnya adalah (4.8, 1.6).

Sekarang kita evaluasi biaya pada titik-titik pojok yang memenuhi kendala (yaitu daerah di atas kedua garis dan di kuadran I):
Titik A: (6, 0) - Memenuhi x+2y≥8 (6+0≥8 salah)
Titik B: (0, 8) - Memenuhi x+2y≥8 (0+16≥8 benar)
Titik C: (4.8, 1.6) - Memenuhi x+2y≥8 (4.8+3.2≥8 benar)
Titik D: (0, 4) - Memenuhi 4x+3y≥24 (0+12≥24 salah)

Titik yang valid adalah (0, 8) dan (4.8, 1.6). Kita perlu memeriksa titik pojok lain yang mungkin terbentuk, yaitu perpotongan garis kendala dengan sumbu x atau y yang valid.

Mari kita evaluasi titik pojok yang valid:
1. Titik (6, 0): Kendala nitrogen: 6 + 2(0) = 6 < 8 (Tidak memenuhi). Jadi titik ini tidak valid.
2. Titik (0, 8): Kendala nitrogen: 0 + 2(8) = 16 ≥ 8 (Memenuhi). Kendala fosfat: 4(0) + 3(8) = 24 ≥ 24 (Memenuhi).
   Biaya = 30.000(0) + 50.000(8) = 400.000.
3. Titik (4.8, 1.6): Kendala nitrogen: 4.8 + 2(1.6) = 4.8 + 3.2 = 8 ≥ 8 (Memenuhi). Kendala fosfat: 4(4.8) + 3(1.6) = 19.2 + 4.8 = 24 ≥ 24 (Memenuhi).
   Biaya = 30.000(4.8) + 50.000(1.6) = 144.000 + 80.000 = 224.000.

Perlu diperiksa juga titik potong dengan sumbu x dan y yang mungkin menjadi titik pojok. Dari x+2y>=8, titik (8,0) tidak memenuhi. Dari 4x+3y>=24, titik (0,8) valid dan (6,0) valid.
Titik pojok yang valid adalah (6,0) -- cek kembali kendala: 6 + 2(0) = 6 < 8 (tidak valid), (0,8) valid, (4.8, 1.6) valid.

Satu titik pojok lain yang perlu dipertimbangkan adalah perpotongan 4x + 3y = 24 dengan sumbu x, yaitu (6,0). Namun, titik ini tidak memenuhi kendala nitrogen (x + 2y ≥ 8, karena 6 + 2*0 = 6 < 8).
Titik pojok yang valid adalah (0, 8) dan (4.8, 1.6).

Mari kita evaluasi ulang titik pojok valid:
1. Titik (0, 8): Biaya = 30.000(0) + 50.000(8) = 400.000.
2. Titik (4.8, 1.6): Biaya = 30.000(4.8) + 50.000(1.6) = 144.000 + 80.000 = 224.000.

Kesimpulan: Biaya minimum yang harus dikeluarkan Pak Budi adalah Rp 224.000,00.