Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk sepanjang 6 cm. Titik Q

a. Sketsa kubus dengan titik-titik yang disebutkan. b. Jarak antara titik B ke garis QF adalah $2\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

a. Sketsa kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm:
Bayangkan sebuah kubus standar. Titik A, B, C, D berada di bidang alas, dan E, F, G, H berada di bidang atas, dengan E di atas A, F di atas B, G di atas C, dan H di atas D. Sisi-sisinya adalah persegi dengan panjang rusuk 6 cm.

Titik Q adalah titik potong diagonal bidang ABCD. Bidang ABCD adalah persegi. Diagonalnya adalah AC dan BD. Titik potong diagonal persegi berada di tengah-tengah persegi tersebut.

b. Menentukan jarak antara titik B ke garis QF:
Untuk menentukan jarak antara titik B ke garis QF, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau dengan mencari luas segitiga BQF dengan dua cara.

Kita perlu koordinat titik-titik tersebut. Misalkan A = (0, 0, 0).
Maka:
B = (6, 0, 0)
C = (6, 6, 0)
D = (0, 6, 0)

E = (0, 0, 6)
F = (6, 0, 6)
G = (6, 6, 6)
H = (0, 6, 6)

Titik Q adalah titik potong diagonal ABCD. Koordinat Q adalah titik tengah AC atau BD.
Q = \frac{A+C}{2} = \frac{(0,0,0)+(6,6,0)}{2} = (3, 3, 0).

Sekarang kita perlu menentukan jarak dari B ke garis QF.
Titik B = (6, 0, 0).
Titik Q = (3, 3, 0).
Titik F = (6, 0, 6).

Kita dapat menggunakan rumus jarak dari titik ke garis dalam ruang tiga dimensi. Cara lain adalah dengan mencari luas segitiga BQF dan membaginya dengan panjang alas BQ atau B F atau QF.

Mari kita gunakan pendekatan vektor untuk mencari jarak dari B ke garis QF. Garis QF dapat direpresentasikan oleh vektor $\vec{QF} = F - Q = (6, 0, 6) - (3, 3, 0) = (3, -3, 6)$.

Titik pada garis QF dapat ditulis sebagai $Q + t \vec{QF} = (3, 3, 0) + t(3, -3, 6) = (3+3t, 3-3t, 6t)$.

Jarak kuadrat dari B ke titik pada garis adalah $d^2 = ||(3+3t, 3-3t, 6t) - (6, 0, 0)||^2$
$d^2 = ||(3+3t-6, 3-3t-0, 6t-0)||^2$
$d^2 = ||(3t-3, 3-3t, 6t)||^2$
$d^2 = (3t-3)^2 + (3-3t)^2 + (6t)^2$
$d^2 = (9t^2 - 18t + 9) + (9 - 18t + 9t^2) + 36t^2$
$d^2 = 18t^2 - 36t + 18 + 36t^2$
$d^2 = 54t^2 - 36t + 18$

Untuk mencari jarak minimum, kita turunkan $d^2$ terhadap t dan samakan dengan nol:
$d(d^2)/dt = 108t - 36$
$108t - 36 = 0$
$108t = 36$
$t = 36/108 = 1/3$

Sekarang substitusikan nilai t kembali ke $d^2$:
$d^2 = 54(1/3)^2 - 36(1/3) + 18$
$d^2 = 54(1/9) - 12 + 18$
$d^2 = 6 - 12 + 18$
$d^2 = 12$

Jadi, jarak antara titik B ke garis QF adalah $d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ cm.