lim x->1 (2/(x^2-1)-1/(x-1))=

-1/2

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mengevaluasi sebuah ekspresi yang melibatkan limit. Ekspresi yang diberikan adalah:
lim x->1 (2/(x²-1) - 1/(x-1))

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam limit terlebih dahulu.

Perhatikan penyebut x²-1. Ini adalah bentuk selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi (x-1)(x+1).
Jadi, ekspresi menjadi:
2/((x-1)(x+1)) - 1/(x-1)

Untuk menjumlahkan kedua pecahan ini, kita perlu menyamakan penyebutnya. Penyebut bersama adalah (x-1)(x+1).
Pecahan kedua perlu dikalikan dengan (x+1)/(x+1):
1/(x-1) * (x+1)/(x+1) = (x+1)/((x-1)(x+1))

Sekarang, kita bisa menggabungkan kedua pecahan:
[2 - (x+1)] / ((x-1)(x+1))
= (2 - x - 1) / ((x-1)(x+1))
= (1 - x) / ((x-1)(x+1))

Perhatikan bahwa (1 - x) adalah negatif dari (x - 1). Jadi, (1 - x) = -(x - 1).
Kita bisa mengganti (1 - x) dengan -(x - 1) di pembilang:
-(x - 1) / ((x-1)(x+1))

Sekarang, kita bisa membatalkan faktor (x - 1) dari pembilang dan penyebut (karena x mendekati 1, x ≠ 1, sehingga x-1 ≠ 0).

Ekspresi yang disederhanakan menjadi:
-1 / (x+1)

Sekarang, kita dapat mengevaluasi limit dari ekspresi yang disederhanakan ini saat x mendekati 1:
lim x->1 [-1 / (x+1)]

Ganti x dengan 1:
= -1 / (1+1)
= -1 / 2

Jadi, hasil dari lim x->1 (2/(x²-1) - 1/(x-1)) adalah -1/2.