lim x-> 3 (x^2-7x+12)sin(x-3)/(x^2-x-6)^2=

Nilai limit adalah -1/25.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan penyederhanaan aljabar.
Limit yang diberikan adalah: lim x→3 (x² - 7x + 12)sin(x - 3) / (x² - x - 6)²

Pertama, kita faktorkan ekspresi kuadrat di pembilang dan penyebut:
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Substitusikan faktorisasi ini ke dalam ekspresi limit:
lim x→3 [(x - 3)(x - 4)sin(x - 3)] / [(x - 3)(x + 2)]²

Sekarang, kita pisahkan suku-sukunya:
lim x→3 [(x - 3)(x - 4)sin(x - 3)] / [(x - 3)²(x + 2)²]

Kita bisa membatalkan satu faktor (x - 3) dari pembilang dan penyebut:
lim x→3 [(x - 4)sin(x - 3)] / [(x - 3)(x + 2)²]

Sekarang, mari kita kelompokkan suku-suku yang mendekati bentuk standar limit sin(u)/u saat u→0:
Kita tahu bahwa lim u→0 sin(u)/u = 1.
Dalam kasus ini, ketika x → 3, maka (x - 3) → 0. Jadi, kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut:

lim x→3 [ (x - 4) / (x + 2)² ] * [ sin(x - 3) / (x - 3) ]

Sekarang, kita dapat mengevaluasi setiap bagian limit secara terpisah:
Bagian 1: lim x→3 [ (x - 4) / (x + 2)² ]
Substitusikan x = 3:
(3 - 4) / (3 + 2)² = (-1) / (5)² = -1 / 25

Bagian 2: lim x→3 [ sin(x - 3) / (x - 3) ]
Misalkan u = x - 3. Ketika x → 3, maka u → 0. Jadi, limit ini menjadi:
lim u→0 sin(u) / u = 1

Sekarang, kita kalikan hasil dari kedua bagian tersebut:
(-1 / 25) * 1 = -1 / 25

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah -1/25.