lim x-> takhingga ((cot(p/x))/(cot(q/x))=

Hasil dari limit x-> tak hingga ((cot(p/x))/(cot(q/x))) adalah q/p.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi. Misalkan $x \to \infty$. Kita dapat membuat substitusi $y = \frac{1}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.

Limitnya menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{\cot(p y)}{\cot(q y)}$

Kita tahu bahwa $\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$. Jadi, limitnya adalah:
$\lim_{y \to 0} \frac{\cos(p y) / \sin(p y)}{\cos(q y) / \sin(q y)}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{\cos(p y)}{\sin(p y)} \times \frac{\sin(q y)}{\cos(q y)}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{\cos(p y)}{\cos(q y)} \times \frac{\sin(q y)}{\sin(p y)}$

Kita tahu bahwa $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(a \theta)}{b \theta} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan(a \theta)}{b \theta} = \frac{a}{b}$.
Kita bisa menulis ulang $\frac{\sin(q y)}{\sin(p y)}$ sebagai $\frac{\sin(q y)}{q y} \times \frac{p y}{\sin(p y)} \times \frac{q y}{p y}$ (dengan asumsi $p \neq 0$ dan $q \neq 0$).

Menggunakan sifat limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$, maka:
$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(q y)}{q y} = 1$
dan $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(p y)}{p y} = 1$.

Sehingga, $\frac{\sin(q y)}{\sin(p y)} = \frac{\sin(q y)}{q y} \times \frac{p y}{\sin(p y)} \times \frac{q}{p} \to 1 \times 1 \times \frac{q}{p} = \frac{q}{p}$ ketika $y \to 0$.

Juga, $\lim_{y \to 0} \frac{\cos(p y)}{\cos(q y)} = \frac{\cos(0)}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$.

Jadi, limitnya adalah:
$1 \times \frac{q}{p} = \frac{q}{p}$

Perlu diperhatikan bahwa jika $p=0$ atau $q=0$, kasusnya akan berbeda. Namun, dalam konteks umum soal limit seperti ini, diasumsikan $p$ dan $q$ adalah konstanta positif.