limit x->1 (akar(x+1)-akar(3x-1))/(akar(x+2)-akar(7-4x))

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Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{3x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{7-4x}}$, pertama kita substitusikan x = 1 ke dalam fungsi:

Pembilang: $\sqrt{1+1} - \sqrt{3(1)-1} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Penyebut: $\sqrt{1+2} - \sqrt{7-4(1)} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan metode L'Hôpital atau mengalikan dengan akar sekawan.

**Metode L'Hôpital:**
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1} - \sqrt{3x-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+2} - \sqrt{7-4x}) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - \frac{-4}{2\sqrt{7-4x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} + \frac{2}{\sqrt{7-4x}}$

Sekarang substitusikan x = 1 ke turunan tersebut:

Nilai turunan pembilang di x=1: $\frac{1}{2\sqrt{1+1}} - \frac{3}{2\sqrt{3(1)-1}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

Nilai turunan penyebut di x=1: $\frac{1}{2\sqrt{1+2}} + \frac{2}{\sqrt{7-4(1)}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}$

Jadi, hasil limitnya adalah perbandingan nilai turunan pembilang dan penyebut:
Limit = $\frac{-1/\sqrt{2}}{5/(2\sqrt{3})} = \frac{-1}{\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{3}}{5} = \frac{-2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{3}\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{6}}{5 \times 2} = \frac{-2\sqrt{6}}{10} = \frac{-\sqrt{6}}{5}$

**Metode Akar Sekawan:**
Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari pembilang dan penyebut:
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<p>Soal #1: Jika 3x + 4y = -10 dan 4x - 5y = -34, maka nilai dari 8x + 3y adalah ....</p>

Jawaban:
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear 3x + 4y = -10 dan 4x - 5y = -34, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Kalikan persamaan pertama dengan 4 dan persamaan kedua dengan 3 untuk mengeliminasi x:
(3x + 4y = -10) * 4  =>  12x + 16y = -40
(4x - 5y = -34) * 3  =>  12x - 15y = -102

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(12x + 16y) - (12x - 15y) = -40 - (-102)
12x + 16y - 12x + 15y = -40 + 102
31y = 62
y = 62 / 31
y = 2

Substitusikan nilai y = 2 ke salah satu persamaan awal (misalnya persamaan pertama):
3x + 4(2) = -10
3x + 8 = -10
3x = -10 - 8
3x = -18
x = -18 / 3
x = -6

Sekarang kita diminta untuk mencari nilai dari 8x + 3y:
8x + 3y = 8(-6) + 3(2)
8x + 3y = -48 + 6
8x + 3y = -42

Ringkasan Jawaban:
Nilai dari 8x + 3y adalah -42.

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*   Topics: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
*   Sections: Eliminasi dan Substitusi
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<p>Soal #2: Tentukanlah posisi titik (-7, 4) terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.</p>

Jawaban:
Posisi titik (-7, 4) terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditentukan sebagai berikut:

1.  **Terhadap Sumbu x:** Jarak titik terhadap sumbu x adalah nilai absolut dari koordinat y-nya. Koordinat y dari titik (-7, 4) adalah 4. Jadi, titik (-7, 4) berjarak 4 satuan dari sumbu x.
    Karena koordinat y positif (4 > 0), titik tersebut berada di atas sumbu x.

2.  **Terhadap Sumbu y:** Jarak titik terhadap sumbu y adalah nilai absolut dari koordinat x-nya. Koordinat x dari titik (-7, 4) adalah -7. Jadi, titik (-7, 4) berjarak 7 satuan dari sumbu y.
    Karena koordinat x negatif (-7 < 0), titik tersebut berada di sebelah kiri sumbu y.

Secara ringkas:
- Titik (-7, 4) berada 4 satuan di atas sumbu x.
- Titik (-7, 4) berada 7 satuan di sebelah kiri sumbu y.

Ringkasan Jawaban:
Titik (-7, 4) berada 4 satuan di atas sumbu x dan 7 satuan di sebelah kiri sumbu y.

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*   Topics: Koordinat Kartesius
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<p>Soal #3: Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut {2x-y=5, x+3y=-8}. Jika y=(a)/(|2 -1 1 3|), maka nilai a=...</p>

Jawaban:
Kita diberikan sistem persamaan linear dua variabel:
1) 2x - y = 5
2) x + 3y = -8

Dan diketahui bahwa y = a / |2 -1 1 3|.
Pertama, kita selesaikan sistem persamaan linear untuk mencari nilai y.
Dari persamaan (1), kita bisa nyatakan x dalam bentuk y:
2x = 5 + y
x = (5 + y) / 2

Substitusikan nilai x ini ke persamaan (2):
((5 + y) / 2) + 3y = -8
Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
5 + y + 6y = -16
5 + 7y = -16
7y = -16 - 5
7y = -21
y = -21 / 7
y = -3

Selanjutnya, kita hitung nilai determinan dari matriks yang diberikan:
|2 -1|
|1  3|
det = (2 * 3) - (-1 * 1)
det = 6 - (-1)
det = 6 + 1
det = 7

Kita juga perlu menghitung nilai determinan untuk mencari nilai 'a' yang berhubungan dengan y dalam kaidah Cramer. Namun, dalam soal ini, kita diberikan bentuk y = a / |2 -1 1 3|. Nilai |2 -1 1 3| merujuk pada determinan matriks $egin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 3 \\\ \\\ 
 
\end{pmatrix}$, yang sudah kita hitung yaitu 7.

Jadi, kita memiliki:
y = a / 7
Karena kita sudah menemukan bahwa y = -3, maka:
-3 = a / 7
Untuk mencari nilai 'a', kalikan kedua sisi dengan 7:
a = -3 * 7
a = -21

Ringkasan Jawaban:
Nilai a adalah -21.

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*   Sections: Penyelesaian SPLDV dengan Matriks, Determinan Matriks
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<p>Soal #4: limit x->1 (akar(x+1)-akar(3x-1))/(akar(x+2)-akar(7-4x)) adalah ....</p>

Jawaban:
Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{3x-1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{7-4x}}$, pertama kita substitusikan x = 1 ke dalam fungsi:

Pembilang: $\sqrt{1+1} - \sqrt{3(1)-1} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Penyebut: $\sqrt{1+2} - \sqrt{7-4(1)} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan metode L'Hôpital atau mengalikan dengan akar sekawan.

**Metode L'Hôpital:**
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1} - \sqrt{3x-1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+2} - \sqrt{7-4x}) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - \frac{-4}{2\sqrt{7-4x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} + \frac{2}{\sqrt{7-4x}}$

Sekarang substitusikan x = 1 ke turunan tersebut:

Nilai turunan pembilang di x=1: $\frac{1}{2\sqrt{1+1}} - \frac{3}{2\sqrt{3(1)-1}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

Nilai turunan penyebut di x=1: $\frac{1}{2\sqrt{1+2}} + \frac{2}{\sqrt{7-4(1)}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{3}}$

Jadi, hasil limitnya adalah perbandingan nilai turunan pembilang dan penyebut:
Limit = $\frac{-1/\sqrt{2}}{5/(2\sqrt{3})} = \frac{-1}{\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{3}}{5} = \frac{-2\sqrt{3}}{5\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{3}\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{6}}{5 \times 2} = \frac{-2\sqrt{6}}{10} = \frac{-\sqrt{6}}{5}$

Ringkasan Jawaban:
Hasil limit adalah $\frac{-\sqrt{6}}{5}$.

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<p>Soal #5: Nilai dari ((2^7 x 3^2)/(2^6 x 3^3))^3 adalah... a. 6/27 b. 8/9 c. 216 d. 8/27</p>

Jawaban:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi eksponen terlebih dahulu:
$$ \left( \frac{2^7 \times 3^2}{2^6 \times 3^3} \right)^3 $$ 

Kita dapat menggunakan sifat-sifat eksponen, yaitu $a^m / a^n = a^{m-n}$.

Sederhanakan basisnya:
$$ \frac{2^7}{2^6} = 2^{7-6} = 2^1 = 2 $$ 
$$ \frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3} $$ 

Jadi, ekspresi di dalam kurung menjadi:
$$ 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ 

Sekarang, pangkatkan hasil ini dengan 3:
$$ \left( \frac{2}{3} \right)^3 $$ 

Gunakan sifat $(a/b)^n = a^n / b^n$:
$$ \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $$ 

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah 8/27.

Ringkasan Jawaban:
Nilai dari ((2^7 x 3^2)/(2^6 x 3^3))^3 adalah 8/27.

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