limit x->3 (x-akar(2x+3)/(9-x^2)=...

Hasil limit adalah -1/9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->3 (x-akar(2x+3))/(9-x^2), kita substitusikan x=3 ke dalam persamaan:

(3 - akar(2*3 + 3)) / (9 - 3^2)
= (3 - akar(6 + 3)) / (9 - 9)
= (3 - akar(9)) / 0
= (3 - 3) / 0
= 0 / 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hopital atau mengalikan dengan konjugat.

**Metode 1: Mengalikan dengan Konjugat**

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (x + akar(2x+3)):

lim x->3 [(x - akar(2x+3)) / (9 - x^2)] * [(x + akar(2x+3)) / (x + akar(2x+3))]

= lim x->3 [(x^2 - (2x+3)) / ((9 - x^2)(x + akar(2x+3)))]
= lim x->3 [(x^2 - 2x - 3) / ((9 - x^2)(x + akar(2x+3)))]

Faktorkan pembilang (x^2 - 2x - 3) menjadi (x-3)(x+1). Faktorkan penyebut (9 - x^2) menjadi (3-x)(3+x) atau -(x-3)(x+3).

= lim x->3 [((x-3)(x+1)) / (-(x-3)(x+3)(x + akar(2x+3)))]

Batalkan faktor (x-3):

= lim x->3 [(x+1) / (-(x+3)(x + akar(2x+3)))]

Substitusikan kembali x=3:

= (3+1) / (-(3+3)(3 + akar(2*3+3)))
= 4 / (-(6)(3 + akar(9)))
= 4 / (-(6)(3 + 3))
= 4 / (-(6)(6))
= 4 / -36
= -1/9

**Metode 2: Aturan L'Hopital**

Karena substitusi langsung menghasilkan 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

Turunan pembilang (x - akar(2x+3)): 1 - (1/2)(2x+3)^(-1/2) * 2 = 1 - (2x+3)^(-1/2) = 1 - 1/akar(2x+3)

Turunan penyebut (9 - x^2): -2x

Sekarang hitung limitnya:

lim x->3 [1 - 1/akar(2x+3)] / [-2x]

Substitusikan x=3:

[1 - 1/akar(2*3+3)] / [-2*3]
= [1 - 1/akar(9)] / [-6]
= [1 - 1/3] / [-6]
= (2/3) / [-6]
= 2 / (3 * -6)
= 2 / -18
= -1/9

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah -1/9.