limit x->y (tan x-tan y)/(1- x/y)(1+tan x tan y)=...

Nilai limit adalah -y.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi atau identitas trigonometri. Persamaan yang diberikan adalah limit x->y (tan x - tan y)/(1 - x/y)(1 + tan x tan y).

Cara 1: Menggunakan identitas tangen:
Ingat identitas tangen untuk jumlah sudut: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B).
Bentuk pembilang soal mirip dengan ini.
Namun, penyebutnya memiliki faktor (1 - x/y) yang tidak sesuai dengan identitas tersebut.

Cara 2: Menggunakan turunan (Aturan L'Hopital jika bentuknya 0/0 atau tak hingga/tak hingga).
Jika kita substitusikan x = y, pembilangnya menjadi tan y - tan y = 0. Penyebutnya menjadi (1 - y/y)(1 + tan y tan y) = (1-1)(1 + tan^2 y) = 0 * (1 + tan^2 y) = 0. Ini adalah bentuk tak tentu 0/0.

Mari kita manipulasi penyebutnya terlebih dahulu: (1 - x/y)(1 + tan x tan y) = (y-x)/y * (1 + tan x tan y).
Jadi limitnya menjadi: limit x->y (tan x - tan y) / [(y-x)/y * (1 + tan x tan y)]
= limit x->y [y * (tan x - tan y)] / [(y-x) * (1 + tan x tan y)]
= limit x->y [y * (tan x - tan y)] / [-(x-y) * (1 + tan x tan y)]
= -y * limit x->y [(tan x - tan y) / (x-y)] * [1 / (1 + tan x tan y)]

Kita tahu bahwa limit x->y (tan x - tan y) / (x-y) adalah turunan dari tan(x) pada x=y, yaitu sec^2(y).

Jadi, limitnya adalah:
-y * sec^2(y) * [1 / (1 + tan y tan y)]
= -y * sec^2(y) * [1 / (1 + tan^2 y)]
Karena 1 + tan^2 y = sec^2 y,
= -y * sec^2(y) * [1 / sec^2 y]
= -y

Jadi, limit x->y (tan x - tan y)/(1 - x/y)(1 + tan x tan y) adalah -y.