Misalkan a, b, c , dan d merupakan bilangan-bilangan real

Ketidaksamaan ini benar untuk bilangan real non-negatif a, b, c, d dan dapat dibuktikan menggunakan teknik ketidaksamaan lanjutan atau perangkat lunak aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 16(abc + bcd + cda + dab) <= (a + b + c + d)^3 untuk bilangan real nonnegatif a, b, c, dan d, kita dapat menggunakan ketidaksamaan AM-GM atau sifat-sifat ketidaksamaan lainnya.

Salah satu cara adalah dengan mengamati bahwa suku-suku di sisi kiri adalah hasil kali tiga dari empat variabel, sedangkan sisi kanan adalah pangkat tiga dari jumlah keempat variabel.

Mari kita gunakan pertidaksamaan AM-GM:
Untuk bilangan non-negatif, rata-rata aritmatika lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometris.

Perhatikan bahwa (a+b+c+d)/4 >= (abcd)^(1/4).
Dipangkatkan tiga:
((a+b+c+d)/4)^3 >= abcd
(a+b+c+d)^3 / 64 >= abcd
(a+b+c+d)^3 >= 64abcd

Ini tidak secara langsung membantu membuktikan pertidaksamaan yang diberikan karena kita memiliki jumlah empat suku di sisi kiri.

Mari kita pertimbangkan kasus yang lebih sederhana atau gunakan fakta bahwa (a+b+c+d)^3 melibatkan semua kombinasi suku.

(a+b+c+d)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + a^2d + ad^2 + b^2c + bc^2 + b^2d + bd^2 + c^2d + cd^2) + 6(abc + bcd + cda + dab)

Kita tahu bahwa untuk bilangan non-negatif, jumlah suku-suku yang melibatkan perkalian tiga lebih kecil atau sama dengan jumlah suku-suku yang melibatkan perkalian dua.

Namun, cara yang lebih umum untuk membuktikan ketidaksamaan semacam ini adalah dengan menggunakan ketidaksamaan Schur atau dengan merujuk pada hasil yang sudah ada.

Untuk ketidaksamaan yang diberikan, kita bisa menggunakan fakta bahwa:

(a+b+c+d)^3 = (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)

Jika kita mengembangakan ini, kita akan mendapatkan suku-suku seperti a^3, a^2b, abc.

Mari kita coba gunakan homogenitas ketidaksamaan. Misalkan a=1, b=1, c=1, d=1. Maka:
16(1+1+1+1) = 16(4) = 64
(1+1+1+1)^3 = 4^3 = 64
64 <= 64. Benar.

Misalkan a=1, b=0, c=0, d=0. Maka:
16(0) = 0
(1+0+0+0)^3 = 1^3 = 1
0 <= 1. Benar.

Misalkan a=1, b=1, c=0, d=0. Maka:
16(0) = 0
(1+1+0+0)^3 = 2^3 = 8
0 <= 8. Benar.

Misalkan a=1, b=1, c=1, d=0. Maka:
16(1) = 16
(1+1+1+0)^3 = 3^3 = 27
16 <= 27. Benar.

Salah satu pendekatan untuk membuktikan ketidaksamaan ini adalah dengan menggunakan ketidaksamaan Muirhead atau dengan menormalisasi salah satu variabel.

Mari kita coba buktikan:
(a+b+c+d)^3 >= 4 * [4(abc+bcd+cda+dab)]

Ini adalah bentuk khusus dari ketidaksamaan Shapiro atau sejenisnya.

Sebuah bukti yang lebih formal seringkali melibatkan pertidaksamaan Newton atau pertidaksamaan Maclaurin.

Namun, jika kita menganggap ini adalah soal ujian, kita bisa mencari pola:

Kita tahu bahwa (a+b+c+d)^3 = SUM a^3 + 3 SUM a^2b + 6 SUM abc.

Dan 4(abc + bcd + cda + dab) adalah bagian dari suku abc.

Jika kita menggunakan ketidaksamaan AM-GM pada 4 suku abc, bcd, cda, dab:
(abc + bcd + cda + dab) / 4 >= ( (abc)(bcd)(cda)(dab) )^(1/4)
(abc + bcd + cda + dab) / 4 >= ( a^3 b^3 c^3 d^3 )^(1/4)
(abc + bcd + cda + dab) / 4 >= (abcd)^(3/4)

Ini juga tidak secara langsung membantu.

Metode yang paling umum untuk soal semacam ini di tingkat lanjut adalah dengan merujuk pada hasil yang telah dibuktikan atau menggunakan perangkat lunak aljabar komputer. Namun, jika harus dibuktikan secara manual, ini memerlukan manipulasi aljabar yang cukup rumit atau penggunaan ketidaksamaan yang spesifik.

Untuk tujuan pendidikan, kita bisa menyatakan bahwa ketidaksamaan ini benar dan seringkali dibuktikan menggunakan teknik ketidaksamaan yang lebih mendalam.

Jika kita mengasumsikan ketidaksamaan dasar bahwa untuk bilangan non-negatif, rata-rata dari suku-suku simetris lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometris, kita bisa melihat struktur dari (a+b+c+d)^3.

(a+b+c+d)^3 = (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)

Setiap suku dalam ekspansi akan berupa a^i b^j c^k d^l dimana i+j+k+l=3.

Suku-suku dalam 16(abc + bcd + cda + dab) adalah suku-suku dengan pangkat total 3.

Tanpa alat bantu atau pengetahuan tentang ketidaksamaan spesifik, bukti formalnya cukup menantang.