Nilai dari (7x^-3/2 y^(5/6))/(x^(5/4)-6 y^(-.1/3)) x^(-2)

\(\frac{18\sqrt{6} + 9\sqrt{3}}{256}\)

Pembahasan

Diberikan ekspresi \(\frac{7x^{-3/2} y^{5/6}}{x^{5/4} - 6 y^{-1/3}}\). Kita perlu mencari nilai ekspresi ini untuk \(x=4\) dan \(y=27\).
Substitusikan nilai \(x=4\) dan \(y=27\) ke dalam ekspresi:
\(x = 4 = 2^2\)
\(y = 27 = 3^3\)

Nilai \(x^{-3/2}\): \(4^{-3/2} = (2^2)^{-3/2} = 2^{2 \times -3/2} = 2^{-3} = \frac{1}{8}\).
Nilai \(y^{5/6}\): \(27^{5/6} = (3^3)^{5/6} = 3^{3 \times 5/6} = 3^{5/2} = \sqrt{3^5} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\).
Nilai \(x^{5/4}\): \(4^{5/4} = (2^2)^{5/4} = 2^{2 \times 5/4} = 2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).
Nilai \(y^{-1/3}\): \(27^{-1/3} = (3^3)^{-1/3} = 3^{3 \times -1/3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\).

Sekarang, mari kita evaluasi bagian pembilang:
\(7x^{-3/2} y^{5/6} = 7 \times \frac{1}{8} \times 9\sqrt{3} = \frac{63\sqrt{3}}{8}\).

Selanjutnya, mari kita evaluasi bagian penyebut:
\(x^{5/4} - 6 y^{-1/3} = 4\sqrt{2} - 6 \times \frac{1}{3} = 4\sqrt{2} - 2\).

Sekarang, mari kita evaluasi ekspresi lengkapnya:
\(\frac{\frac{63\sqrt{3}}{8}}{4\sqrt{2} - 2}\)

Kita perlu menyederhanakan ekspresi ini lebih lanjut. Namun, ada bagian \(x^{-2}\) di akhir soal yang belum dimasukkan. Soal lengkapnya adalah \(\frac{7x^{-3/2} y^{5/6}}{x^{5/4} - 6 y^{-1/3}} x^{-2}\).

Jadi, kita perlu mengalikan hasil sebelumnya dengan \(x^{-2}\).
Nilai \(x^{-2}\): \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\).

Sekarang, kalikan hasil sebelumnya dengan \(\frac{1}{16}\):
\(\frac{\frac{63\sqrt{3}}{8}}{4\sqrt{2} - 2} \times \frac{1}{16} = \frac{63\sqrt{3}}{8 \times (4\sqrt{2} - 2)} \times \frac{1}{16} = \frac{63\sqrt{3}}{128(4\sqrt{2} - 2)}\)

Untuk menyederhanakan, kita bisa merasionalkan penyebutnya:
\(\frac{63\sqrt{3}}{128(4\sqrt{2} - 2)} \times \frac{4\sqrt{2} + 2}{4\sqrt{2} + 2} = \frac{63\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2)}{128((4\sqrt{2})^2 - 2^2)}
= \frac{63\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2)}{128(16 \times 2 - 4)}
= \frac{63\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2)}{128(32 - 4)}
= \frac{63\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2)}{128(28)}
= \frac{63\sqrt{3}(4\sqrt{2} + 2)}{3584}\)

Mari kita periksa kembali soalnya. Ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi atau penulisan soal, terutama dengan adanya \(x^{-2}\) di akhir ekspresi. Jika \(x^{-2}\) adalah bagian dari pembilang, maka perhitungan akan berbeda. Namun, berdasarkan penulisan, \(x^{-2}\) tampaknya dikalikan dengan seluruh pecahan.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menyederhanakan \(x^{-3/2} x^{-2} = x^{-3/2 - 2} = x^{-7/2}\) jika \(x^{-2}\) berada di pembilang.

Jika soal ditulis dengan benar dan \(x^{-2}\) dikalikan di akhir:
Ekspresi = \(\frac{7 \cdot 4^{-3/2} \cdot 27^{5/6}}{4^{5/4} - 6 \cdot 27^{-1/3}} \cdot 4^{-2}\)
= \(\frac{7 \cdot (1/8) \cdot 9\sqrt{3}}{4\sqrt{2} - 6 \cdot (1/3)} \cdot (1/16)\)
= \(\frac{63\sqrt{3}/8}{4\sqrt{2} - 2} \cdot (1/16)\)
= \(\frac{63\sqrt{3}}{8(4\sqrt{2} - 2)} \cdot \frac{1}{16}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}}{128(4\sqrt{2} - 2)}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}}{128 \cdot 2 (2\sqrt{2} - 1)}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}}{256 (2\sqrt{2} - 1)}\)

Merasionalkan penyebut:
= \(\frac{63\sqrt{3}}{256 (2\sqrt{2} - 1)} \times \frac{2\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 1}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}(2\sqrt{2} + 1)}{256 ((2\sqrt{2})^2 - 1^2)}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}(2\sqrt{2} + 1)}{256 (8 - 1)}\)
= \(\frac{63\sqrt{3}(2\sqrt{2} + 1)}{256 \cdot 7}\)
= \(\frac{9\sqrt{3}(2\sqrt{2} + 1)}{256}\)
= \(\frac{18\sqrt{6} + 9\sqrt{3}}{256}\)

Karena hasil ini cukup kompleks, mari kita cek apakah ada interpretasi lain atau jika ada kesalahan dalam soal. Jika kita menganggap \(x^{-2}\) adalah bagian dari basis eksponen di pembilang, yaitu \((7x^{-3/2} y^{5/6} x^{-2}) / (x^{5/4} - 6 y^{-1/3})\):
Pembilang: \(7x^{-7/2} y^{5/6} = 7 \cdot 4^{-7/2} \cdot 27^{5/6}\)
\(4^{-7/2} = (2^2)^{-7/2} = 2^{-7} = 1/128\)
\(27^{5/6} = 9\sqrt{3}\)
Pembilang = \(7 \cdot (1/128) \cdot 9\sqrt{3} = 63\sqrt{3}/128\)

Penyebut: \(4\sqrt{2} - 2\)

Ekspresi = \(\frac{63\sqrt{3}/128}{4\sqrt{2} - 2} = \frac{63\sqrt{3}}{128(4\sqrt{2} - 2)}\)
Ini mengarah ke hasil yang sama seperti sebelumnya.

Mengingat soal ini berasal dari konteks ujian atau latihan, mari kita coba mencari nilai yang lebih sederhana jika memungkinkan. Periksa kembali apakah ada kesalahan ketik pada soal. Jika tidak, hasil \(\frac{18\sqrt{6} + 9\sqrt{3}}{256}\) adalah jawaban yang paling mungkin berdasarkan interpretasi literal.