Nilai dari limit x->-3 (x^2+6x+9)/(2 - 2 cos (2x+6)) adalah

1/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x->-3 dari (x^2 + 6x + 9) / (2 - 2 cos(2x + 6)), kita bisa menggunakan beberapa metode. Pertama, kita perhatikan bahwa pembilangnya adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x+3)^2. Ketika x mendekati -3, pembilang mendekati (-3+3)^2 = 0. Untuk penyebutnya, ketika x mendekati -3, (2x+6) mendekati 0. Kita tahu bahwa cos(0) = 1, sehingga penyebutnya mendekati 2 - 2*cos(0) = 2 - 2*1 = 0. Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Turunan dari pembilang (x^2 + 6x + 9) adalah 2x + 6.
Turunan dari penyebut (2 - 2 cos(2x + 6)) adalah -2 * (-sin(2x + 6)) * 2 = 4 sin(2x + 6).
Sekarang kita hitung limit dari turunan tersebut saat x mendekati -3:
limit x->-3 (2x + 6) / (4 sin(2x + 6))
Substitusikan x = -3:
(2*(-3) + 6) / (4 sin(2*(-3) + 6))
(-6 + 6) / (4 sin(-6 + 6))
0 / (4 sin(0))
0 / (4 * 0)
0 / 0
Karena masih mendapatkan bentuk tak tentu, kita terapkan aturan L'Hopital lagi:
Turunan dari (2x + 6) adalah 2.
Turunan dari (4 sin(2x + 6)) adalah 4 * cos(2x + 6) * 2 = 8 cos(2x + 6).
Sekarang kita hitung limitnya:
limit x->-3 2 / (8 cos(2x + 6))
Substitusikan x = -3:
2 / (8 cos(2*(-3) + 6))
2 / (8 cos(-6 + 6))
2 / (8 cos(0))
2 / (8 * 1)
2 / 8
1 / 4

Menggunakan Manipulasi Aljabar dan Identitas Trigonometri:
limit x->-3 (x+3)^2 / (2 - 2 cos(2x + 6))
Ambil faktor 2 dari penyebut:
limit x->-3 (x+3)^2 / (2 * (1 - cos(2x + 6)))
Kita tahu identitas trigonometri 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ).
Dalam kasus ini, 2x + 6 = 2(x + 3), jadi θ = x + 3.
Maka 1 - cos(2x + 6) = 2 sin^2(x + 3).
Substitusikan kembali ke dalam limit:
limit x->-3 (x+3)^2 / (2 * (2 sin^2(x + 3)))
limit x->-3 (x+3)^2 / (4 sin^2(x + 3))
limit x->-3 [ (x+3) / (2 sin(x + 3)) ]^2
Kita tahu bahwa limit x->0 sin(x)/x = 1, atau limit x->0 x/sin(x) = 1.
Agar sesuai dengan bentuk ini, kita bisa memanipulasi ekspresi di dalam kurung:
limit x->-3 [ (x+3)/2 ] / sin(x + 3))
limit x->-3 (1/2) * [ (x+3) / sin(x + 3) ]
Karena x mendekati -3, maka x+3 mendekati 0. Jadi kita bisa menggunakan limit standar.
limit x->-3 [ (x+3) / sin(x + 3) ] = 1.
Maka, limitnya menjadi:
(1/2) * 1 = 1/2.
Sekarang kuadratkan hasil ini:
(1/2)^2 = 1/4.
Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1/4.