Nilai lim X->0 ((1-cos 4x) sinx)/(x^2 tan 3x)=...

8/9

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit: lim x->0 ((1-cos 4x) sinx)/(x^2 tan 3x)

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang: d/dx [(1-cos 4x) sinx]
Menggunakan aturan perkalian: (4sin 4x)(sinx) + (1-cos 4x)(cos x)

Turunan penyebut: d/dx [x^2 tan 3x]
Menggunakan aturan perkalian: (2x)(tan 3x) + (x^2)(3 sec^2 3x)

Langkah 2: Substitusikan x=0 ke turunan pembilang dan penyebut.
Turunan pembilang saat x=0:
(4sin 0)(sin 0) + (1-cos 0)(cos 0) = (4*0*0) + (1-1)*1 = 0 + 0 = 0

Turunan penyebut saat x=0:
(2*0)(tan 0) + (0^2)(3 sec^2 0) = (0)(0) + (0)(3*1^2) = 0 + 0 = 0

Karena masih mendapatkan bentuk 0/0, kita perlu menerapkan aturan L'Hopital lagi.

Langkah 3: Terapkan aturan L'Hopital untuk kedua kalinya.
Turunan kedua pembilang: d/dx [(4sin 4x)(sinx) + (1-cos 4x)(cos x)]
= d/dx [4sin 4x sinx + cosx - cos 4x cosx]
= [ (16cos 4x)(sinx) + (4sin 4x)(cosx) ] + [-sinx - (-4sin 4x)(cosx) - (1-cos 4x)(-sinx)]
= 16sin(0)cos(0) + 4sin(0)cos(0) - sin(0) + 4sin(0)cos(0) + (1-cos(0))sin(0)
= 0 + 0 - 0 + 0 + (1-1)*0 = 0

Turunan kedua penyebut: d/dx [2x tan 3x + 3x^2 sec^2 3x]
= d/dx [2x tan 3x] + d/dx [3x^2 sec^2 3x]
= [2 tan 3x + 2x (3 sec^2 3x)] + [6x sec^2 3x + 3x^2 (2 sec 3x)(3 sec 3x tan 3x)]
= [2 tan 0 + 6x sec^2 0] + [6x sec^2 0 + 18x^2 sec^2 3x tan 3x]
= [0 + 6x * 1] + [6x * 1 + 18x^2 * 1 * 0]
= 6x + 6x = 12x

Substitusikan x=0 ke turunan kedua penyebut: 12 * 0 = 0

Masih 0/0. Mari kita gunakan pendekatan lain yang lebih sederhana dengan manipulasi aljabar dan limit trigonometri standar.

Limit: lim x->0 ((1-cos 4x) sinx)/(x^2 tan 3x)

Kita tahu bahwa: 1 - cos(2a) = 2sin^2(a)
Maka, 1 - cos(4x) = 2sin^2(2x)

Dan kita tahu limit trigonometri:
lim x->0 (sinx/x) = 1
lim x->0 (tanx/x) = 1

Substitusikan 1 - cos 4x:
= lim x->0 ((2sin^2(2x)) sinx)/(x^2 tan 3x)

Kelompokkan suku-suku untuk membentuk limit standar:
= lim x->0 [2 * (sin(2x)/x) * (sin(2x)/x) * (x/tan(3x)) * (sinx/x)]

Kita perlu menyesuaikan agar sesuai dengan bentuk lim x->0 (sinx/x) dan lim x->0 (tanx/x):
= lim x->0 [2 * (sin(2x)/(2x) * 2) * (sin(2x)/(2x) * 2) * (x/(tan(3x)/(3x) * 3x)) * (sinx/x)]

Kelompokkan lagi:
= lim x->0 [2 * (sin(2x)/(2x))^2 * 4 * (x/tan(3x)) * (sinx/x) * (1/3)]

Gunakan sifat limit (limit perkalian adalah perkalian limit):
= 2 * (lim x->0 sin(2x)/(2x))^2 * 4 * (lim x->0 x/tan(3x)) * (lim x->0 sinx/x) * (1/3)

Kita tahu:
lim x->0 sin(2x)/(2x) = 1
lim x->0 sinx/x = 1
Untuk lim x->0 x/tan(3x), kita bisa tulis sebagai 1 / lim x->0 tan(3x)/x = 1 / (lim x->0 tan(3x)/(3x) * 3) = 1 / (1 * 3) = 1/3

Substitusikan nilai limit:
= 2 * (1)^2 * 4 * (1/3) * 1 * (1/3)
= 2 * 1 * 4 * (1/3) * (1/3)
= 8 * (1/9)
= 8/9

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 8/9.