Nilai limit a -> b ((tan a-tan b)/(1+(1-(a/b))tan a tan

Nilai limitnya adalah -b.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mengevaluasi sebuah limit yang melibatkan fungsi tangen.

Fungsi yang akan dicari limitnya: lim a -> b ((tan a - tan b) / (1 + (1 - (a/b)) tan a tan b - (a/b)))

Perhatikan penyebutnya: 1 + (1 - (a/b)) tan a tan b - (a/b).
Kita bisa menyederhanakan bagian (1 - (a/b)) tan a tan b:
(1 - a/b) tan a tan b = tan a tan b - (a/b) tan a tan b.

Jadi, penyebutnya menjadi: 1 + tan a tan b - (a/b) tan a tan b - (a/b).

Mari kita perhatikan bentuk umum dari rumus penjumlahan tangen: tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B).

Jika kita membandingkan ini dengan limit yang diberikan, tampaknya ada sedikit perbedaan pada penyebut.

Namun, mari kita coba pendekatan lain. Jika kita substitusi a = b langsung ke dalam ekspresi, kita akan mendapatkan bentuk 0/0, yang menandakan kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mari kita coba manipulasi aljabar pada penyebut:
1 + (1 - a/b) tan a tan b - a/b
= 1 + tan a tan b - (a/b) tan a tan b - a/b
= (1 + tan a tan b) - (a/b)(tan a tan b + 1)
= (1 + tan a tan b) (1 - a/b)

Jadi, ekspresi limit menjadi:
lim a -> b (tan a - tan b) / [(1 + tan a tan b) (1 - a/b)]

Kita bisa memisahkan ini menjadi dua bagian:
[lim a -> b (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b)] * [lim a -> b 1 / (1 - a/b)]

Bagian pertama, lim a -> b (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b), sesuai dengan rumus tan(a - b). Jadi, limitnya adalah tan(b - b) = tan(0) = 0.

Bagian kedua, lim a -> b 1 / (1 - a/b), ketika a mendekati b, penyebutnya mendekati 1 - b/b = 1 - 1 = 0. Ini berarti limit bagian kedua akan menuju tak hingga jika pembilang bukan nol.

Namun, mari kita tinjau ulang penyebutnya. Mungkin ada kesalahan dalam pemahaman soal atau penulisan soalnya.

Jika kita mengasumsikan penyebutnya adalah "1 + tan a tan b", maka limitnya adalah tan(a-b) dan ketika a->b, hasilnya adalah tan(0) = 0.

Jika kita mengasumsikan soalnya adalah:
lim a -> b (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b) * (1/(1-a/b)) ???

Mari kita periksa kembali soal asli. Ada kemungkinan ada kesalahan ketik pada soal atau penyebutnya dimaksudkan untuk disederhanakan dengan cara lain.

Jika kita menganggap penyebutnya adalah "1 + tan a tan b", maka:
lim a -> b (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b) = tan(a - b).
Ketika a mendekati b, tan(a - b) mendekati tan(b - b) = tan(0) = 0.

Namun, melihat struktur soalnya, tampaknya ada faktor (1 - a/b) yang memengaruhi hasil.

Mari kita coba lihat dari perspektif lain. Perhatikan bagian dalam kurung pada penyebut:
1 + (1 - a/b) tan a tan b - a/b

Jika kita ekspand dan kelompokkan:
1 + tan a tan b - (a/b) tan a tan b - a/b
= (1 + tan a tan b) - (a/b)(tan a tan b + 1)
= (1 + tan a tan b)(1 - a/b)

Jadi limitnya adalah:
lim a->b [ (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b) ] / (1 - a/b)
= [ lim a->b tan(a-b) ] / [ lim a->b (1 - a/b) ]

Limit pembilangnya adalah tan(b-b) = tan(0) = 0.
Limit penyebutnya adalah 1 - b/b = 1 - 1 = 0.

Kita mendapatkan bentuk 0/0 lagi, sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital pada ekspresi awal atau pada bentuk yang sudah dipisah.

Mari gunakan aturan L'Hopital pada bentuk awal:
lim a -> b ((tan a - tan b) / (1 + (1 - (a/b)) tan a tan b - (a/b)))

Turunan pembilang terhadap a: sec^2(a)

Turunan penyebut terhadap a:
d/da [1 + tan a tan b - (a/b) tan a tan b - a/b]
= 0 + sec^2(a) tan b - [(1/b) sec^2(a) tan b + (a/b) sec^2(a) tan b] - 1/b
= sec^2(a) tan b - (1/b) sec^2(a) tan b - (a/b) sec^2(a) tan b - 1/b

Ini menjadi sangat rumit. Mari kita kembali ke ekspresi yang lebih sederhana:
lim a->b [ tan(a-b) ] / (1 - a/b)

Gunakan aturan L'Hopital pada ekspresi ini:
Turunan pembilang terhadap a: sec^2(a-b)
Turunan penyebut terhadap a: -1/b

Maka limitnya adalah:
lim a->b [ sec^2(a-b) / (-1/b) ]
= lim a->b [ -b sec^2(a-b) ]

Substitusikan a = b:
-b sec^2(b-b)
= -b sec^2(0)
= -b * (1 / cos^2(0))
= -b * (1 / 1^2)
= -b

Jadi, nilai limitnya adalah -b.