Nilai limit x->0 (1-cos 16x)/(cos 10x-cos 2x) adalah ....

Nilai limitnya adalah -8/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->0 (1-cos 16x)/(cos 10x-cos 2x), kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi atau menggunakan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa:
1 - cos(2A) = 2 sin^2(A)
cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Gunakan identitas 1 - cos(2A) = 2 sin^2(A) pada pembilang:
1 - cos(16x) = 2 sin^2(16x/2) = 2 sin^2(8x)

Gunakan identitas cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) pada penyebut:
cos(10x) - cos(2x) = -2 sin((10x+2x)/2) sin((10x-2x)/2)
= -2 sin(12x/2) sin(8x/2)
= -2 sin(6x) sin(4x)

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->0 [2 sin^2(8x)] / [-2 sin(6x) sin(4x)]
= lim x->0 [sin^2(8x)] / [-sin(6x) sin(4x)]

Gunakan sifat limit: lim x->0 sin(ax)/ax = 1.
Kita dapat memanipulasi ekspresi menjadi:
= lim x->0 [ (sin(8x)/8x)^2 * (8x)^2 ] / [ -(sin(6x)/6x) * 6x * (sin(4x)/4x) * 4x ]
= lim x->0 [ 1^2 * 64x^2 ] / [ -1 * 6x * 1 * 4x ]
= lim x->0 [ 64x^2 ] / [ -24x^2 ]
= 64 / -24
= -8 / 3

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital (jika belum mempelajari identitas di atas).
Jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk 0/0, sehingga aturan L'Hopital dapat digunakan.
Turunan dari pembilang (1 - cos 16x) adalah -(-sin 16x) * 16 = 16 sin 16x.
Turunan dari penyebut (cos 10x - cos 2x) adalah -10 sin 10x - (-2 sin 2x) = -10 sin 10x + 2 sin 2x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 [16 sin 16x] / [-10 sin 10x + 2 sin 2x]

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan 0/0. Jadi, kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan dari 16 sin 16x adalah 16 * cos 16x * 16 = 256 cos 16x.
Turunan dari -10 sin 10x + 2 sin 2x adalah -10 * cos 10x * 10 + 2 * cos 2x * 2 = -100 cos 10x + 4 cos 2x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 [256 cos 16x] / [-100 cos 10x + 4 cos 2x]

Sekarang substitusikan x=0:
= [256 cos(0)] / [-100 cos(0) + 4 cos(0)]
= [256 * 1] / [-100 * 1 + 4 * 1]
= 256 / (-100 + 4)
= 256 / -96

Untuk menyederhanakan 256 / -96:
Bagi keduanya dengan 32:
256 / 32 = 8
-96 / 32 = -3

Maka, hasilnya adalah 8 / -3 = -8/3.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.