Nilai limit x->0 (1-cos 2x)/(x tan 1/2 x)= ...

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x → 0 dari (1 - cos 2x) / (x tan(1/2)x), kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah dengan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hôpital.

Menggunakan Identitas Trigonometri:
Kita tahu bahwa 1 - cos 2x = 2 sin^2 x.
Dan tan(1/2)x = sin(1/2)x / cos(1/2)x.

Maka, ekspresi menjadi:
lim (x→0) [2 sin^2 x] / [x * (sin(1/2)x / cos(1/2)x)]

Kita juga tahu bahwa untuk x yang mendekati 0, sin x ≈ x dan tan x ≈ x.
Jadi, sin^2 x ≈ x^2.
Dan sin(1/2)x ≈ (1/2)x.

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
lim (x→0) [2 * x^2] / [x * ((1/2)x) * cos(1/2)x]
= lim (x→0) [2x^2] / [(1/2)x^2 * cos(1/2)x]
= lim (x→0) 2 / [(1/2) * cos(1/2)x]

Karena cos(0) = 1, maka:
= 2 / (1/2 * 1)
= 2 / (1/2)
= 4

Menggunakan Aturan L'Hôpital:
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital. Turunan dari pembilang (1 - cos 2x) adalah 2 sin 2x. Turunan dari penyebut (x tan(1/2)x) adalah (tan(1/2)x) + x * (1/2) sec^2(1/2)x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x→0) [2 sin 2x] / [tan(1/2)x + (1/2)x sec^2(1/2)x]

Substitusi x=0 lagi:
[2 sin 0] / [tan 0 + (1/2)*0*sec^2 0]
= [0] / [0 + 0] = 0/0.

Kita perlu menggunakan L'Hôpital lagi. Turunan dari pembilang (2 sin 2x) adalah 4 cos 2x. Turunan dari penyebut (tan(1/2)x + (1/2)x sec^2(1/2)x) adalah (1/2) sec^2(1/2)x + (1/2) sec^2(1/2)x + (1/2)x * 2 sec(1/2)x * (1/2) sec(1/2)x * tan(1/2)x * (1/2).

Ini menjadi rumit. Mari kita sederhanakan penyebutnya terlebih dahulu:
(1/2) sec^2(1/2)x + (1/2) sec^2(1/2)x + (1/4)x sec^2(1/2)x tan(1/2)x
= sec^2(1/2)x + (1/4)x sec^2(1/2)x tan(1/2)x

Sekarang turunkan kembali:
Turunan dari sec^2(1/2)x adalah 2 sec(1/2)x * (sec(1/2)x tan(1/2)x) * (1/2) = sec^2(1/2)x tan(1/2)x.
Turunan dari (1/4)x sec^2(1/2)x tan(1/2)x adalah (1/4) sec^2(1/2)x tan(1/2)x + (1/4)x [sec^2(1/2)x tan(1/2)x] [tan(1/2)x] + (1/4)x sec^2(1/2)x [sec^2(1/2)x] (1/2).

Cara yang lebih mudah adalah menggunakan ekspansi deret Taylor atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri yang lebih lanjut.

Kembali ke cara identitas trigonometri yang lebih disederhanakan:
lim (x→0) [2 sin^2 x] / [x tan(1/2)x]
Kita bisa memanipulasi agar mendekati bentuk lim (sin ax)/(ax) = 1.

lim (x→0) [2 sin x * sin x] / [x * (sin(1/2)x / cos(1/2)x)]
= lim (x→0) [2 * (sin x / x) * sin x] / [(sin(1/2)x / x) * cos(1/2)x]

Kita perlu (sin x / x) dan (sin(1/2)x / (1/2)x).
Kalikan dan bagi dengan x di pembilang, dan kalikan serta bagi dengan (1/2) di penyebut:

lim (x→0) [2 * (sin x / x) * x * sin x] / [(sin(1/2)x / ((1/2)x)) * (1/2)x * cos(1/2)x]

= lim (x→0) [2 * (sin x / x) * sin x] / [(sin(1/2)x / (1/2)x) * (1/2)x * cos(1/2)x]

= lim (x→0) [2 * 1 * sin x] / [1 * (1/2)x * cos(1/2)x]

= lim (x→0) [2 sin x] / [(1/2)x cos(1/2)x]

Gunakan sin x ≈ x saat x→0:
= lim (x→0) [2x] / [(1/2)x cos(1/2)x]
= lim (x→0) 2 / [(1/2) cos(1/2)x]
= 2 / (1/2 * cos 0)
= 2 / (1/2 * 1)
= 4

Jadi, nilai limitnya adalah 4.