Suku kedua dan suku keempat suatu deret geometri tak hingga

9/2

Pembahasan

Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga adalah *u1* dan rasionya adalah *r*. Diketahui suku kedua (u2) adalah 1 dan suku keempat (u4) adalah 1/9.

Dalam barisan geometri, suku ke-n dinyatakan sebagai un = u1 * r^(n-1).

Dari informasi yang diberikan:
u2 = u1 * r^(2-1) = u1 * r = 1
u4 = u1 * r^(4-1) = u1 * r³ = 1/9

Kita dapat membagi persamaan u4 dengan persamaan u2 untuk mencari rasio *r*:
(u1 * r³) / (u1 * r) = (1/9) / 1
r² = 1/9
r = ±√(1/9)
r = ±1/3

Karena ini adalah deret geometri tak hingga yang memiliki jumlah, maka nilai mutlak rasio harus kurang dari 1 (|r| < 1). Kedua nilai r = 1/3 dan r = -1/3 memenuhi kondisi ini.

Sekarang kita cari suku pertama (u1) menggunakan u1 * r = 1.
Jika r = 1/3: u1 * (1/3) = 1 => u1 = 3
Jika r = -1/3: u1 * (-1/3) = 1 => u1 = -3

Jumlah deret geometri tak hingga (S∞) dihitung dengan rumus S∞ = u1 / (1 - r).

Kasus 1: u1 = 3 dan r = 1/3
S∞ = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 3 * (3/2) = 9/2

Kasus 2: u1 = -3 dan r = -1/3
S∞ = -3 / (1 - (-1/3)) = -3 / (1 + 1/3) = -3 / (4/3) = -3 * (3/4) = -9/4

Namun, biasanya dalam konteks soal seperti ini, suku-suku deret dianggap positif atau informasi lain mengarah pada satu nilai rasio. Jika kita mengasumsikan suku-sukunya positif, maka r = 1/3 dan u1 = 3, sehingga jumlahnya adalah 9/2. Jika suku-sukunya bisa negatif, kedua kemungkinan jumlah bisa valid. Tanpa informasi tambahan, kita pilih solusi yang paling umum diasumsikan (suku positif).

Jadi, jumlah semua suku deret itu adalah 9/2.