Nyatakan notasi berikut berikut dalam bentuk penjumlahan.

\(\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{2}{7}\right)\)

Pembahasan

Kita perlu menyatakan notasi sigma \(\sum_{i=1}^{5} \left(\frac{1}{i+1} - \frac{2}{i+2}\right)\) dalam bentuk penjumlahan.
Mari kita jabarkan suku-suku deretnya:
Untuk i=1: \(\frac{1}{1+1} - \frac{2}{1+2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3}\)
Untuk i=2: \(\frac{1}{2+1} - \frac{2}{2+2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{4}\)
Untuk i=3: \(\frac{1}{3+1} - \frac{2}{3+2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{5}\)
Untuk i=4: \(\frac{1}{4+1} - \frac{2}{4+2} = \frac{1}{5} - \frac{2}{6}\)
Untuk i=5: \(\frac{1}{5+1} - \frac{2}{5+2} = \frac{1}{6} - \frac{2}{7}\)
Jadi, bentuk penjumlahannya adalah:
\(\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{6}\right) + \left(\frac{1}{6} - \frac{2}{7}\right)\)
Ini adalah deret teleskopik jika suku tengahnya difaktorkan. Namun, berdasarkan permintaan soal hanya meminta dalam bentuk penjumlahan. Kita juga bisa mengatur ulang suku-suku tersebut:
\(\frac{1}{2} + \left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{2}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{2}{5} + \frac{1}{5}\right) + \left(-\frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right) - \frac{2}{7}\)
\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{2}{7}\)