Penyelasaian dari pertidaksamaan x/(x-1) <= 8/(x+2)

$-2 < x < 1$ atau $2 \leq x \leq 4$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x}{x-1} \leq \frac{8}{x+2}$, pertama-tama kita bawa semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan perbandingan dengan nol:
$\frac{x}{x-1} - \frac{8}{x+2} \leq 0$
Kemudian, samakan penyebutnya:
$\frac{x(x+2) - 8(x-1)}{(x-1)(x+2)} \leq 0$
$\frac{x^2 + 2x - 8x + 8}{(x-1)(x+2)} \leq 0$
$\frac{x^2 - 6x + 8}{(x-1)(x+2)} \leq 0$
Faktorkan pembilangnya:
$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+2)} \leq 0$
Selanjutnya, tentukan akar-akar dari pembilang dan penyebut:
x = 2, x = 4 (dari pembilang)
x = 1, x = -2 (dari penyebut)
Buat garis bilangan dan uji setiap interval:
Interval 1: $x < -2$. Ambil $x=-3$. $\frac{(-3-2)(-3-4)}{(-3-1)(-3+2)} = \frac{(-5)(-7)}{(-4)(-1)} = \frac{35}{4} > 0$
Interval 2: $-2 < x < 1$. Ambil $x=0$. $\frac{(0-2)(0-4)}{(0-1)(0+2)} = \frac{(-2)(-4)}{(-1)(2)} = \frac{8}{-2} = -4 < 0$
Interval 3: $1 < x < 2$. Ambil $x=1.5$. $\frac{(1.5-2)(1.5-4)}{(1.5-1)(1.5+2)} = \frac{(-0.5)(-2.5)}{(0.5)(3.5)} = \frac{1.25}{1.75} > 0$
Interval 4: $2 \leq x \leq 4$. Ambil $x=3$. $\frac{(3-2)(3-4)}{(3-1)(3+2)} = \frac{(1)(-1)}{(2)(5)} = \frac{-1}{10} < 0$
Interval 5: $x > 4$. Ambil $x=5$. $\frac{(5-2)(5-4)}{(5-1)(5+2)} = \frac{(3)(1)}{(4)(7)} = \frac{3}{28} > 0$
Pertidaksamaan $\leq 0$ terpenuhi pada interval $-2 < x < 1$ dan $2 \leq x \leq 4$. Karena penyebut tidak boleh nol, maka $x \neq 1$ dan $x \neq -2$. Pembilang boleh nol, sehingga $x=2$ dan $x=4$ termasuk dalam solusi.
Jadi, penyelesaiannya adalah $-2 < x < 1$ atau $2 \leq x \leq 4$.