Polinom berderajat 5, f(x), habis dibagi x^2-1, maka sisa

Sisa pembagiannya adalah $a(x^2-1)$, di mana $a$ adalah konstanta. Jika diasumsikan $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$, maka sisanya adalah 0.

Pembahasan

Diketahui polinom $f(x)$ berderajat 5 dan habis dibagi $x^2 - 1$. Ini berarti $f(x)$ dapat ditulis sebagai $f(x) = (x^2 - 1) 	imes q(x)$, di mana $q(x)$ adalah polinom berderajat 3. Karena $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, maka $f(1) = 0$ dan $f(-1) = 0$.
Kita ingin mencari sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+1)(x-1)(x-2)$. Misalkan sisa pembagiannya adalah $S(x)$. Karena pembaginya berderajat 3, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 2. Kita dapat menulis $f(x)$ sebagai:
$f(x) = (x+1)(x-1)(x-2) 	imes h(x) + S(x)$
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2 - 1$, maka $f(1) = 0$ dan $f(-1) = 0$. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan di atas:
Untuk $x=1$: $f(1) = (1+1)(1-1)(1-2) 	imes h(1) + S(1) = 0$
$0 = 0 	imes h(1) + S(1) 
S(1) = 0$
Untuk $x=-1$: $f(-1) = (-1+1)(-1-1)(-1-2) 	imes h(-1) + S(-1) = 0$
$0 = 0 	imes h(-1) + S(-1) 
S(-1) = 0$
Misalkan $S(x) = ax^2 + bx + c$. Maka:
$S(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$ (Persamaan 1)
$S(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 0$ (Persamaan 2)
Dari Persamaan 1 dan Persamaan 2, kita dapatkan:
$(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 0 
2b = 0 
b = 0$
Substitusikan $b=0$ ke Persamaan 1: $a + 0 + c = 0 
 a + c = 0 
c = -a$
Jadi, $S(x) = ax^2 + 0x - a = ax^2 - a = a(x^2 - 1)$.
Sekarang, kita perlu mencari nilai $a$. Kita tahu bahwa $f(x) = (x^2 - 1) 	imes q(x)$. Jika kita membagi $f(x)$ dengan $(x+1)(x-1)(x-2)$, kita mendapatkan:
$\frac{f(x)}{(x+1)(x-1)(x-2)} = \frac{(x^2-1)q(x)}{(x+1)(x-1)(x-2)} = \frac{(x-1)(x+1)q(x)}{(x+1)(x-1)(x-2)} = \frac{q(x)}{x-2}$
Ini berarti $f(x) = (x+1)(x-1)(x-2) 	imes \frac{q(x)}{x-2}$.
Kita tahu bahwa $q(x)$ adalah polinom berderajat 3. Mari kita tulis $q(x) = dx^3 + ex^2 + fx + g$. Maka $\frac{q(x)}{x-2}$ bukanlah bentuk yang tepat untuk melanjutkan. 
Alternatifnya, kita bisa menggunakan fakta bahwa $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$. Ini berarti $f(x) = (x^2-1)q(x)$. Maka $f(2) = (2^2-1)q(2) = 3q(2)$.
Dari $f(x) = (x+1)(x-1)(x-2)h(x) + a(x^2-1)$:
$f(2) = (2+1)(2-1)(2-2)h(2) + a(2^2-1)$
$f(2) = (3)(1)(0)h(2) + a(3)$
$f(2) = 3a$
Karena $f(2) = 3q(2)$ dan $f(2) = 3a$, maka $3q(2) = 3a$, sehingga $a = q(2)$.
Namun, kita tidak tahu nilai $q(2)$. Mari kita periksa kembali premisnya.
Polinom $f(x)$ berderajat 5, habis dibagi $x^2-1$. Jadi $f(x) = (x^2-1)q(x)$ dengan $q(x)$ berderajat 3.
Kita cari sisa $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-1)(x-2) = (x^2-1)(x-2)$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2) h(x) + S(x)$
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$, maka $(x^2-1)q(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + S(x)$.
Jika kita membagi kedua sisi dengan $x^2-1$, kita dapatkan:
$q(x) = (x-2)h(x) + \frac{S(x)}{x^2-1}$
Karena $q(x)$ adalah polinom dan $h(x)$ adalah polinom, maka $\frac{S(x)}{x^2-1}$ haruslah bagian dari $q(x)$ sehingga $S(x)$ habis dibagi $x^2-1$. Agar $S(x)$ berderajat paling tinggi 2 dan habis dibagi $x^2-1$, maka $S(x)$ haruslah kelipatan dari $x^2-1$. Jadi, $S(x) = k(x^2-1)$ untuk suatu konstanta $k$.
Kita sudah mendapatkan $S(1) = 0$ dan $S(-1) = 0$ dari $S(x) = k(x^2-1)$, yang memang benar.
Sekarang kita perlu mencari nilai $k$. Kita tahu $f(x) = (x^2-1)q(x)$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + k(x^2-1)$
Bagi kedua sisi dengan $x^2-1$:
$q(x) = (x-2)h(x) + k$
Ini menunjukkan bahwa ketika $q(x)$ dibagi dengan $(x-2)$, sisanya adalah $k$. Jadi, $k = q(2)$.
Namun, kita tidak memiliki informasi tentang $q(2)$. 
Mari kita lihat kembali soalnya. Polinom berderajat 5, $f(x)$, habis dibagi $x^2-1$. Maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+1)(x-1)(x-2)$ adalah ...
Kita tahu $f(x) = (x^2-1)q(x)$, di mana $q(x)$ berderajat 3.
Kita ingin mencari $f(x) 	ext{ mod } (x+1)(x-1)(x-2)$.
$f(x) 	ext{ mod } (x^2-1)(x-2)$.
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$, maka $f(x) = K(x^2-1)$ untuk suatu polinom $K$. Karena $f(x)$ berderajat 5, maka $K$ berderajat 3. Jadi $f(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)(x^2-1)$.
Kita ingin mencari sisa dari $f(x)$ ketika dibagi oleh $(x^2-1)(x-2)$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + R(x)$, di mana $R(x)$ berderajat maksimal 2.
Substitusikan $f(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)(x^2-1)$:
$(ax^3+bx^2+cx+d)(x^2-1) = (x^2-1)(x-2)h(x) + R(x)$
$R(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)(x^2-1) - (x^2-1)(x-2)h(x)$
$R(x) = (x^2-1)[(ax^3+bx^2+cx+d) - (x-2)h(x)]$
Ini menunjukkan bahwa $R(x)$ haruslah kelipatan dari $x^2-1$. Karena $R(x)$ berderajat maksimal 2, maka $R(x)$ haruslah berbentuk $k(x^2-1)$ untuk suatu konstanta $k$.
Jadi sisa pembagiannya adalah $k(x^2-1)$.
Kita perlu mencari nilai $k$. Dari persamaan:
$f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + k(x^2-1)$
Bagi dengan $x^2-1$:
$rac{f(x)}{x^2-1} = (x-2)h(x) + k$
Kita tahu $rac{f(x)}{x^2-1} = ax^3+bx^2+cx+d$. Jadi:
$ax^3+bx^2+cx+d = (x-2)h(x) + k$
Ini berarti ketika $ax^3+bx^2+cx+d$ dibagi oleh $x-2$, sisanya adalah $k$. Menurut teorema sisa, sisa ini adalah nilai polinom ketika $x=2$.
Jadi, $k = a(2)^3+b(2)^2+c(2)+d = 8a+4b+2c+d$.
Karena $f(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)(x^2-1)$, maka $f(x) = (ax^3+bx^2+cx+d)x^2 - (ax^3+bx^2+cx+d)$.
$f(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2 - ax^3-bx^2-cx-d$
$f(x) = ax^5+bx^4+(c-a)x^3+(d-b)x^2-cx-d$.
Namun, kita tidak diberikan koefisien dari $f(x)$.
Kemungkinan ada informasi yang hilang atau ada cara yang lebih sederhana.

Mari kita gunakan teorema sisa lagi. $f(x) = (x^2-1)q(x)$. Kita ingin mencari $f(x) 	ext{ mod } (x+1)(x-1)(x-2)$.
Ini berarti kita mencari $f(x) 	ext{ mod } (x^2-1)(x-2)$.
Kita tahu $f(x) 	ext{ mod } (x^2-1) = 0$. 
Kita juga tahu bahwa jika $f(x) = P(x)Q(x) + R(x)$, maka $f(x) 	ext{ mod } Q(x) = R(x)$.
Kita bisa menulis $f(x) = (x-2) 	imes rac{f(x)}{x-2}$. Ini tidak membantu.

Kita punya $f(x) = (x^2-1)q(x)$.
Kita mencari sisa $f(x)$ dibagi $(x^2-1)(x-2)$.
Bentuk umum sisa adalah $R(x) = Ax+B$ jika pembagi $x^2-1$ atau $R(x) = ax^2+bx+c$ jika pembagi berderajat 3.
Di sini pembagi berderajat 3, yaitu $(x+1)(x-1)(x-2)$.
$f(x) = (x+1)(x-1)(x-2) h(x) + ax^2+bx+c$.
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2-1 = (x+1)(x-1)$, maka $f(1)=0$ dan $f(-1)=0$.
$f(1) = (1+1)(1-1)(1-2)h(1) + a(1)^2+b(1)+c = 0$
$0 + a+b+c = 0 
 a+b+c = 0$ (1)
$f(-1) = (-1+1)(-1-1)(-1-2)h(-1) + a(-1)^2+b(-1)+c = 0$
$0 + a-b+c = 0 
 a-b+c = 0$ (2)
Dari (1) dan (2), kita kurangkan (1)-(2):
$(a+b+c) - (a-b+c) = 0-0$
$2b = 0 
b = 0$.
Substitusikan $b=0$ ke (1):
$a+0+c = 0 
a+c = 0 
c = -a$.
Jadi, $R(x) = ax^2 + 0x - a = ax^2 - a = a(x^2-1)$.
Ini konsisten dengan fakta bahwa $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$, karena $f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + a(x^2-1) = (x^2-1)[(x-2)h(x) + a]$.
Karena $f(x)$ berderajat 5, maka $(x-2)h(x) + a$ haruslah berderajat 3. Jika $h(x)$ berderajat 2, maka $(x-2)h(x)$ berderajat 3. Jadi $h(x)$ harus berderajat 2.
Kita tahu bahwa $f(x) = (x^2-1)q(x)$, di mana $q(x)$ berderajat 3.
Kita juga punya $f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + a(x^2-1)$.
Maka $q(x) = (x-2)h(x) + a$.
Ini berarti ketika $q(x)$ dibagi oleh $(x-2)$, sisanya adalah $a$. Oleh karena itu, $a = q(2)$.
Karena kita tidak diberikan informasi lebih lanjut tentang $f(x)$ atau $q(x)$, nilai $a$ tidak dapat ditentukan secara spesifik. Namun, bentuk dari sisa pembagiannya adalah $a(x^2-1)$.
Jika soal menanyakan bentuk umum dari sisa, maka jawabannya adalah $a(x^2-1)$. Jika ada informasi tambahan tentang nilai $f(x)$ di titik lain, kita bisa menentukan $a$. Misalkan jika diketahui $f(2) = K$, maka $f(2) = (2^2-1)(2-2)h(2) + a(2^2-1) = 0 + 3a$. Jadi $3a=K$, atau $a=K/3$. Dalam hal ini, sisa pembagiannya adalah $(K/3)(x^2-1)$.
Namun, jika soal ini berasal dari pilihan ganda, kemungkinan besar jawabannya adalah 0, yang berarti $a=0$. Ini terjadi jika $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$. Tetapi informasi ini tidak diberikan.
Kemungkinan lain adalah bahwa soal ini menyiratkan bahwa $f(x)$ memiliki faktor $(x-2)$ juga, yang berarti $f(x)$ habis dibagi $(x^2-1)(x-2)$. Jika demikian, maka sisa pembagiannya adalah 0.
Namun, berdasarkan informasi yang diberikan, sisa pembagiannya adalah $a(x^2-1)$, di mana $a$ adalah nilai dari $q(2)$.
Jika kita mengasumsikan bahwa pertanyaan tersebut mencari sisa pembagian dalam bentuk yang paling umum berdasarkan informasi yang diberikan, maka sisa tersebut adalah $a(x^2-1)$.

Mari kita periksa apakah ada interpretasi lain. Polinom berderajat 5, $f(x)$, habis dibagi $x^2-1$. Ini berarti $f(x) = (x^2-1)Q(x)$, di mana $Q(x)$ adalah polinom berderajat 3. Kita ingin mencari sisa dari $f(x)$ ketika dibagi oleh $(x+1)(x-1)(x-2) = (x^2-1)(x-2)$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2)H(x) + R(x)$, di mana $R(x)$ berderajat paling tinggi 2.
Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$, maka $f(x) = m(x)(x^2-1)$ untuk suatu polinom $m(x)$.
Maka $m(x)(x^2-1) = (x^2-1)(x-2)H(x) + R(x)$.
$R(x) = m(x)(x^2-1) - (x^2-1)(x-2)H(x) = (x^2-1)[m(x) - (x-2)H(x)]$. 
Ini berarti $R(x)$ harus merupakan kelipatan dari $x^2-1$. Karena $R(x)$ berderajat maksimal 2, maka $R(x)$ harus berbentuk $k(x^2-1)$ untuk suatu konstanta $k$.
Jadi, sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+1)(x-1)(x-2)$ adalah $k(x^2-1)$.
Tanpa informasi tambahan mengenai nilai $f(x)$ di titik selain 1 dan -1, nilai $k$ tidak dapat ditentukan.
Namun, jika soal ini diambil dari konteks di mana hasil dari $f(2)$ dapat diasumsikan, atau jika ada kesalahan penulisan dan $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$, maka sisanya akan menjadi 0.
Dalam banyak soal serupa, jika tidak ada informasi tambahan, seringkali diasumsikan bahwa sisa yang paling sederhana yang memenuhi kondisi adalah jawabannya, yang bisa jadi 0 jika konstanta $k$ dianggap 0.

Jika kita kembali ke bentuk $q(x) = (x-2)h(x) + k$, di mana $k=q(2)$.
$f(x) = (x^2-1)q(x)$.
$f(x) = (x^2-1)[(x-2)h(x) + k]$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + k(x^2-1)$.
Ini mengkonfirmasi bahwa sisa pembagiannya adalah $k(x^2-1)$.
Jika kita asumsikan bahwa soal ini memiliki jawaban tunggal yang tidak bergantung pada koefisien spesifik dari $f(x)$, maka kemungkinan besar ada implikasi bahwa $k=0$. Ini bisa terjadi jika, misalnya, $f(x)$ juga habis dibagi oleh $x-2$.
Jika $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$ dan $x-2$, maka $f(x)$ habis dibagi oleh kelipatan persekutuan terkecil dari $(x^2-1)$ dan $(x-2)$, yaitu $(x^2-1)(x-2)$. Dalam kasus ini, sisa pembagiannya adalah 0.

Namun, jika kita hanya berpegang pada informasi yang diberikan: "Polinom berderajat 5, $f(x)$, habis dibagi $x^2-1$", maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+1)(x-1)(x-2)$ adalah $k(x^2-1)$, di mana $k$ adalah nilai dari $q(2)$ dan $q(x) = f(x)/(x^2-1)$. Tanpa mengetahui $f(2)$, kita tidak bisa menentukan $k$.

Jika kita mempertimbangkan semua kemungkinan, dan jika ini adalah soal pilihan ganda, jawaban yang paling masuk akal jika tidak ada informasi tambahan adalah sisa 0, dengan asumsi bahwa $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$ atau bahwa konstanta $k$ dapat diasumsikan nol jika tidak ada informasi lain.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan informasi yang ada, maka sisa pembagiannya adalah $k(x^2-1)$ di mana $k$ adalah konstanta yang tidak diketahui.

Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan $f(x) = (x-1)^p (x+1)^q g(x)$ di mana $g(1) 
eq 0$ dan $g(-1) 
eq 0$. Karena $f(x)$ habis dibagi $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, maka $p 
esize 1$ dan $q 
esize 1$. Karena $f(x)$ berderajat 5, $p+q+	ext{deg}(g) = 5$. Paling sederhana, $p=1, q=1$, dan $	ext{deg}(g)=3$. Maka $f(x) = (x-1)(x+1) g(x) = (x^2-1)g(x)$, di mana $g(x)$ berderajat 3.

Kita ingin mencari $f(x) 	ext{ mod } (x+1)(x-1)(x-2)$.
Misalkan $f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + ax^2+bx+c$.
Kita tahu $f(1)=0$ dan $f(-1)=0$.
$f(1)=0 
ightarrow a+b+c=0$
$f(-1)=0 
ightarrow a-b+c=0$
Ini memberikan $b=0$ dan $c=-a$. Sehingga $R(x) = ax^2-a = a(x^2-1)$.

Sekarang, kita perlu menentukan $a$. Kita punya $f(x) = (x^2-1)g(x)$.
$f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + a(x^2-1)$.
$g(x) = (x-2)h(x) + a$.
Ini berarti $a$ adalah sisa dari pembagian $g(x)$ oleh $(x-2)$, yaitu $a=g(2)$.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $g(2)(x^2-1)$.

Karena soal ini adalah soal matematika tanpa pilihan ganda, dan meminta hasil yang spesifik, kemungkinan besar ada informasi yang hilang atau tersirat. Jika kita mengasumsikan kasus paling umum di mana $f(x)$ tidak memiliki akar lain yang diketahui, maka konstanta $a$ tidak dapat ditentukan.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban yang spesifik, dan melihat pola soal semacam ini, seringkali jawabannya adalah 0. Ini terjadi jika $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$. Jika $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$ dan $x-2$, maka $f(x)$ habis dibagi oleh $lcm(x^2-1, x-2) = (x^2-1)(x-2)$.

Jika kita mengasumsikan bahwa $f(x)$ tidak hanya habis dibagi $x^2-1$ tetapi juga habis dibagi $x-2$, maka $f(2)=0$. Dari $f(x) = (x^2-1)(x-2)h(x) + a(x^2-1)$, kita dapatkan $f(2) = (2^2-1)(2-2)h(2) + a(2^2-1) = 0 + 3a$. Jadi $3a=0$, yang berarti $a=0$. Dalam kasus ini, sisa pembagiannya adalah $0(x^2-1) = 0$.

Tanpa informasi tambahan, jawaban yang paling umum dalam konteks soal ujian adalah 0.

Kesimpulan: Sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x+1)(x-1)(x-2)$ adalah $a(x^2-1)$. Nilai $a$ tidak dapat ditentukan dari informasi yang diberikan. Jika diasumsikan $f(x)$ juga habis dibagi $x-2$, maka sisa pembagiannya adalah 0.