Penyelesaian pertidaksamaan 1+4/2log x-3/(2log x-1)<0

$0 < x < \frac{1}{16}$ atau $x > 4$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{1 + \frac{4}{^2\log x}}{ \frac{2}{^2\log x} - 1} < 0$, kita dapat melakukan beberapa langkah:

1. Substitusi:
Misalkan $y = {^2\log x}$. Maka pertidaksamaan menjadi:
$\\frac{1 + \frac{4}{y}}{ \frac{2}{y} - 1} < 0$

2. Sederhanakan persamaan:
$\\frac{\\frac{y+4}{y}}{\\frac{2-y}{y}} < 0$
$\\frac{y+4}{y} \times \frac{y}{2-y} < 0$
$\\frac{y+4}{2-y} < 0$

3. Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut:
$y+4 = 0 \implies y = -4$
$2-y = 0 \implies y = 2$

4. Buat garis bilangan dan uji interval:
Karena pertidaksamaan adalah "< 0" (kurang dari nol), kita mencari interval di mana nilainya negatif.

   --(-4)--   (2)--
Uji $y < -4$ (misal $y=-5$): $\\frac{-5+4}{2-(-5)} = \\frac{-1}{7}$ (negatif)
Uji $-4 < y < 2$ (misal $y=0$): $\\frac{0+4}{2-0} = \\frac{4}{2} = 2$ (positif)
Uji $y > 2$ (misal $y=3$): $\\frac{3+4}{2-3} = \\frac{7}{-1} = -7$ (negatif)

Jadi, solusi untuk $y$ adalah $y < -4$ atau $y > 2$.

5. Substitusi kembali $y = {^2\log x}$:
Kasus 1: $y < -4$
${^2\log x} < -4$
$x < 2^{-4}$
$x < \frac{1}{16}$

Kasus 2: $y > 2$
${^2\log x} > 2$
$x > 2^2$
$x > 4$

6. Perhatikan syarat numerus (argumen logaritma) harus positif, yaitu $x > 0$.

7. Gabungkan semua kondisi:
Dari $x < \frac{1}{16}$ dan $x > 0$, kita dapatkan $0 < x < \frac{1}{16}$.
Dari $x > 4$, kita dapatkan $x > 4$.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah $0 < x < \frac{1}{16}$ atau $x > 4$.