Perhatikan gambar di samping. Segitiga ABC siku-siku sama

9/4 cm^2

Pembahasan

Untuk menentukan luas minimum segi empat BCED pada segitiga ABC yang siku-siku sama kaki dengan AE = BD = 3 cm, kita perlu memahami sifat-sifat segitiga tersebut dan bagaimana luas segi empat dihitung.

Asumsi:
*   Segitiga ABC siku-siku di C.
*   Sama kaki berarti AC = BC.
*   AE dan BD adalah segmen garis yang terletak di dalam segitiga ABC.
*   Titik D terletak pada sisi AC, dan titik E terletak pada sisi BC.
*   Segi empat BCED terbentuk oleh titik B, C, D, dan E.

Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka sudut CAB = sudut CBA = 45 derajat.

Panjang sisi AC dan BC tidak diketahui secara spesifik, tetapi kita tahu bahwa AC = BC.
Diketahui AE = 3 cm dan BD = 3 cm.

Karena D ada di AC, maka CD = AC - AD.
Karena E ada di BC, maka CE = BC - BE.

Luas segi empat BCED dapat dihitung dengan mengurangkan luas segitiga ADE dari luas segitiga ABC, atau dengan menjumlahkan luas segitiga BCD dan segitiga BDE, atau dengan cara lain tergantung pada bagaimana titik D dan E ditempatkan.

Namun, jika kita melihat penamaan titik A, B, C, D, E, dan format soal yang umum, seringkali D terletak pada AC dan E terletak pada BC. Atau bisa juga D pada BC dan E pada AC.

Mari kita asumsikan D pada AC dan E pada BC.
Panjang sisi siku-siku sama kaki adalah 's', jadi AC = BC = s.

Jika AE = 3 cm dan BD = 3 cm, ini bisa berarti:
1.  D adalah titik pada AC sehingga AD = 3 cm, dan E adalah titik pada BC sehingga BE = 3 cm.
    Dalam kasus ini, CD = AC - AD = s - 3, dan CE = BC - BE = s - 3. 
    Luas BCED = Luas ABC - Luas ADE.
    Luas ABC = 1/2 * s * s = 1/2 s^2.
    Segitiga ADE memiliki alas AD = 3 dan tinggi CE = s - 3 jika sudut C 90 derajat. Namun ini tidak benar, sudut di A dan B adalah 45.
    Jika D di AC dan E di BC, maka segitiga ADE sebangun dengan ABC jika DE sejajar AB. Ini terjadi jika CD/CA = CE/CB. Jika CD = s-3 dan CE = s-3, maka (s-3)/s = (s-3)/s, yang selalu benar.
    Luas ADE = 1/2 * AD * CE * sin(sudut C). Ini juga salah.

    Cara yang benar menghitung Luas ADE jika D di AC dan E di BC:
    Luas ADE = 1/2 * AD * AE * sin(sudut BAC) = 1/2 * AD * AE * sin(45).
    Ini jika AE adalah sisi miring. Tapi AE adalah jarak dari A ke E. 

    Jika D di AC dan E di BC, dan AE=BD=3cm:
    Ini berarti jarak dari A ke E (di BC) adalah 3 cm, dan jarak dari B ke D (di AC) adalah 3 cm.
    Ini adalah konfigurasi yang tidak standar untuk menghasilkan segi empat BCED yang sederhana.

    Kemungkinan Interpretasi Lain:
    *   D adalah titik pada AC, E adalah titik pada BC.
    *   Perpanjangan dari A ke D sejauh 3 cm (jika D di luar AC) atau dari A ke D sejauh 3 cm (jika D di AC).
    *   Demikian pula untuk B ke E.

    Mari kita asumsikan interpretasi yang paling mungkin untuk soal semacam ini:
    Titik D terletak pada sisi AC sedemikian rupa sehingga AD = 3 cm.
    Titik E terletak pada sisi BC sedemikian rupa sehingga BE = 3 cm.

    Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, maka AC = BC. Misalkan panjang sisi ini adalah 's'.
    Maka, CD = AC - AD = s - 3.
    Dan CE = BC - BE = s - 3.

    Luas segi empat BCED dapat dihitung sebagai:
    Luas BCED = Luas Segitiga ABC - Luas Segitiga ADE

    Luas Segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * BC = 1/2 * s * s = 1/2 s^2.

    Untuk Luas Segitiga ADE:
    Alas AD = 3 cm.
    Tinggi segitiga ADE terhadap alas AD adalah jarak dari E ke garis AC. Karena E berada di BC dan ABC siku-siku di C, maka CE tegak lurus AC (jika D=A, E=C) atau BE tegak lurus BC (jika D=C, E=B).
    Ini menjadi rumit tanpa diagram.

    Jika kita melihat penamaan titik A B C D E, dan segitiga ABC siku-siku sama kaki, dengan AE=BD=3cm, ini bisa berarti:
    *   Titik D ada pada AC sehingga AD = 3 cm.
    *   Titik E ada pada BC sehingga BE = 3 cm.

    Namun, jika kita ingin mencari LUAS MINIMUM segi empat BCED, ini menyiratkan bahwa luasnya bisa bervariasi tergantung pada posisi titik D dan E, dan kita harus mencari kondisi minimumnya.

    Jika AE = 3 cm dan BD = 3 cm, ini BISA JUGA berarti:
    *   E adalah titik pada BC sehingga BE = 3.
    *   D adalah titik pada AC sehingga BD = 3 (jarak dari B ke D).

    Ini adalah interpretasi yang paling aneh.

    Interpretasi yang paling masuk akal untuk soal "luas minimum":
    Segitiga ABC siku-siku sama kaki. Misalkan titik A=(0, s), B=(s, 0), C=(0, 0).
    Maka AC ada di sumbu y, BC ada di sumbu x.
    Sisi AC memiliki panjang s, sisi BC memiliki panjang s.
    Titik D pada AC berarti D=(0, y_D).
    Titik E pada BC berarti E=(x_E, 0).

    AE = 3 cm. Jarak dari A(0, s) ke E(x_E, 0) adalah 3.
    sqrt((x_E - 0)^2 + (0 - s)^2) = 3
    sqrt(x_E^2 + s^2) = 3
    x_E^2 + s^2 = 9
    x_E^2 = 9 - s^2. Ini hanya mungkin jika s <= 3.

    BD = 3 cm. Jarak dari B(s, 0) ke D(0, y_D) adalah 3.
    sqrt((0 - s)^2 + (y_D - 0)^2) = 3
    sqrt(s^2 + y_D^2) = 3
    s^2 + y_D^2 = 9
    y_D^2 = 9 - s^2. Ini hanya mungkin jika s <= 3.

    Ini berarti panjang sisi segitiga sama kaki (s) harus kurang dari atau sama dengan 3 cm agar titik E dan D bisa berada di sisi segitiga dengan jarak yang diberikan dari A dan B.

    Jika s < 3, maka x_E = sqrt(9 - s^2) dan y_D = sqrt(9 - s^2).
    Titik D adalah (0, sqrt(9-s^2)), dan titik E adalah (sqrt(9-s^2), 0).
    Sisi CD = s - y_D = s - sqrt(9-s^2).
    Sisi CE = s - x_E = s - sqrt(9-s^2).

    Luas BCED = Luas Persegi Panjang CExD + Luas Segitiga BxE + Luas Segitiga C yD.
    Ini tidak tepat.

    Luas BCED = Luas Segitiga ABC - Luas Segitiga ADE.
    Luas ABC = 1/2 s^2.
    Luas ADE = 1/2 * alas * tinggi. 
    Alas AD = s - y_D = s - sqrt(9-s^2).
    Tinggi segitiga ADE terhadap alas AD (yang terletak pada sumbu y) adalah koordinat x dari E, yaitu x_E = sqrt(9-s^2).
    Luas ADE = 1/2 * (s - sqrt(9-s^2)) * sqrt(9-s^2)
    Luas ADE = 1/2 * (s*sqrt(9-s^2) - (9-s^2))

    Luas BCED = 1/2 s^2 - [1/2 * (s*sqrt(9-s^2) - 9 + s^2)]
    Luas BCED = 1/2 s^2 - 1/2 s*sqrt(9-s^2) + 1/2 (9 - s^2)
    Luas BCED = 1/2 s^2 - 1/2 s*sqrt(9-s^2) + 9/2 - 1/2 s^2
    Luas BCED = 9/2 - 1/2 s*sqrt(9-s^2)

    Agar luas BCED minimum, kita perlu memaksimalkan 1/2 s*sqrt(9-s^2).
    Misalkan f(s) = s*sqrt(9-s^2).
    Kita bisa kuadratkan agar lebih mudah: f(s)^2 = s^2 * (9-s^2) = 9s^2 - s^4.
    Turunkan terhadap s: d(f^2)/ds = 18s - 4s^3.
    Setel = 0: 18s - 4s^3 = 0 => 2s(9 - 2s^2) = 0.
    Karena s > 0, maka 9 - 2s^2 = 0 => 2s^2 = 9 => s^2 = 9/2 => s = 3/sqrt(2).

    Jika s = 3/sqrt(2), maka s^2 = 9/2.
    Luas BCED = 9/2 - 1/2 * (3/sqrt(2)) * sqrt(9 - 9/2)
    Luas BCED = 9/2 - 1/2 * (3/sqrt(2)) * sqrt(9/2)
    Luas BCED = 9/2 - 1/2 * (3/sqrt(2)) * (3/sqrt(2))
    Luas BCED = 9/2 - 1/2 * (9/2)
    Luas BCED = 9/2 - 9/4 = 18/4 - 9/4 = 9/4.

    Apakah ini luas minimum atau maksimum?
    Jika s mendekati 0, Luas BCED = 9/2.
    Jika s = 3, Luas BCED = 9/2 - 1/2 * 3 * sqrt(9-9) = 9/2.
    Jadi 9/4 adalah nilai minimum.

    Kesimpulan:
    Luas minimum segi empat BCED adalah 9/4 cm^2.