Periksalah dengan pembagian istimewa tanda-tanda mana dari

a. ±, b. +, c. +, d. ±, e. -, f. +

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk memeriksa dengan pembagian istimewa tanda-tanda mana dari (+-) yang membuat pembagian tersebut bersisa nol. Ini berkaitan dengan Teorema Sisa dan Faktor.

Prinsip dasarnya adalah jika (x - a) adalah faktor dari sebuah polinomial P(x), maka P(a) = 0. Demikian pula, jika (x + a) adalah faktor, maka P(-a) = 0.

Mari kita analisis setiap bagian:

a. (x^4 - y^4) / (x ± y)
   - Untuk (x - y): Ganti x dengan y. Maka menjadi (y^4 - y^4) = 0. Jadi, (x - y) adalah faktor.
   - Untuk (x + y): Ganti x dengan -y. Maka menjadi ((-y)^4 - y^4) = (y^4 - y^4) = 0. Jadi, (x + y) adalah faktor.
   - Kesimpulan: Kedua tanda (±) membuat pembagian bersisa nol.

b. (x^5 + y^5) / (x ± y)
   - Untuk (x - y): Ganti x dengan y. Maka menjadi (y^5 + y^5) = 2y^5 ≠ 0. Jadi, (x - y) bukan faktor.
   - Untuk (x + y): Ganti x dengan -y. Maka menjadi ((-y)^5 + y^5) = (-y^5 + y^5) = 0. Jadi, (x + y) adalah faktor.
   - Kesimpulan: Hanya tanda (+) yang membuat pembagian bersisa nol.

c. (a^6 + b^6) / (a^2 ± b^2)
   - Ini bisa dianggap sebagai (x^3 + y^3) dengan x = a^2 dan y = b^2, yang difaktorkan menjadi (x+y)(x^2-xy+y^2). Jadi, (a^2 + b^2) adalah faktor.
   - Untuk (a^2 - b^2): Ini tidak akan membuat sisa nol karena tidak ada pola umum seperti itu untuk a^6+b^6.
   - (a^6 + b^6) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4).
   - Kesimpulan: Hanya tanda (+) yang membuat pembagian bersisa nol.

d. (a^8 - b^8) / (a^2 ± b^2)
   - Ini bisa dianggap sebagai (x^4 - y^4) dengan x = a^2 dan y = b^2, yang difaktorkan menjadi (x-y)(x+y)(x^2+y^2). Jadi, (a^2 - b^2) dan (a^2 + b^2) adalah faktor.
   - (a^8 - b^8) = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4).
   - Kesimpulan: Kedua tanda (±) membuat pembagian bersisa nol.

e. (a^15 - b^15) / (a^3 ± b^3)
   - Ini bisa dianggap sebagai (x^5 - y^5) dengan x = a^3 dan y = b^3. Polinomial x^n - y^n selalu habis dibagi oleh (x - y).
   - Maka, (a^3 - b^3) adalah faktor.
   - Untuk (a^3 + b^3): Ini tidak akan membuat sisa nol.
   - Kesimpulan: Hanya tanda (-) yang membuat pembagian bersisa nol.

f. (a^15 + b^15) / (a^3 ± b^3)
   - Ini bisa dianggap sebagai (x^5 + y^5) dengan x = a^3 dan y = b^3. Polinomial x^n + y^n habis dibagi oleh (x + y) jika n ganjil.
   - Maka, (a^3 + b^3) adalah faktor.
   - Untuk (a^3 - b^3): Ini tidak akan membuat sisa nol.
   - Kesimpulan: Hanya tanda (+) yang membuat pembagian bersisa nol.