Pernyataan matematis 5^(n+1)-8n-9 dengan n bilangan asli

Pernyataan tersebut selalu habis dibagi 4.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa pernyataan matematis 5^(n+1) - 8n - 9 selalu habis dibagi oleh suatu bilangan untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Buktikan untuk n = 1.
Substitusikan n = 1 ke dalam pernyataan: 5^(1+1) - 8(1) - 9 = 5^2 - 8 - 9 = 25 - 8 - 9 = 25 - 17 = 8.
Karena 8 habis dibagi 8, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k, di mana k adalah bilangan asli.
Asumsikan bahwa 5^(k+1) - 8k - 9 habis dibagi 8. Ini berarti 5^(k+1) - 8k - 9 = 8m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Kita perlu menunjukkan bahwa 5^((k+1)+1) - 8(k+1) - 9 habis dibagi 8.
Substitusikan n = k + 1:
5^(k+2) - 8(k+1) - 9
= 5 * 5^(k+1) - 8k - 8 - 9
= 5 * 5^(k+1) - 8k - 17

Sekarang, kita akan mencoba membentuk ekspresi ini agar mengandung bentuk dari asumsi (5^(k+1) - 8k - 9).
Kita bisa menulis ulang ekspresi di atas sebagai:
= 5 * (5^(k+1) - 8k - 9 + 8k + 9) - 8k - 17
= 5 * (5^(k+1) - 8k - 9) + 5 * (8k + 9) - 8k - 17
= 5 * (5^(k+1) - 8k - 9) + 40k + 45 - 8k - 17
= 5 * (5^(k+1) - 8k - 9) + 32k + 28

Dari asumsi Langkah 2, kita tahu bahwa (5^(k+1) - 8k - 9) adalah 8m, yang habis dibagi 8.
Sekarang kita periksa bagian sisanya: 32k + 28.
Kita bisa membaginya dengan 8:
32k habis dibagi 8 (karena 32 = 4 * 8).
28 tidak habis dibagi 8.

Mari kita coba cara lain untuk memanipulasi ekspresi di Langkah 3:
5^(k+2) - 8(k+1) - 9
= 5^(k+2) - 8k - 8 - 9
= 5^(k+2) - 8k - 17

Kita tahu dari asumsi: 5^(k+1) = 8m + 8k + 9.
Maka, 5^(k+2) = 5 * 5^(k+1) = 5 * (8m + 8k + 9) = 40m + 40k + 45.
Substitusikan kembali ke ekspresi:
(40m + 40k + 45) - 8k - 17
= 40m + 32k + 28

Sekarang kita periksa apakah 40m + 32k + 28 habis dibagi 8.
40m habis dibagi 8.
32k habis dibagi 8.
28 = 3 * 8 + 4. Jadi 28 tidak habis dibagi 8.

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau dalam asumsi saya. Mari kita coba memverifikasi beberapa nilai n:
n=1: 5^2 - 8(1) - 9 = 25 - 8 - 9 = 8 (habis dibagi 8)
n=2: 5^3 - 8(2) - 9 = 125 - 16 - 9 = 125 - 25 = 100 (tidak habis dibagi 8, tapi habis dibagi 4)
n=3: 5^4 - 8(3) - 9 = 625 - 24 - 9 = 625 - 33 = 592.
592 / 8 = 74. Jadi habis dibagi 8.
n=4: 5^5 - 8(4) - 9 = 3125 - 32 - 9 = 3125 - 41 = 3084.
3084 / 8 = 385.5. Tidak habis dibagi 8. Tapi 3084 / 4 = 771. Jadi habis dibagi 4.

Mari kita analisis ekspresi modulo 8:
5^(n+1) - 8n - 9 
≡ 5^(n+1) - 0 - 9 (mod 8)
≡ 5^(n+1) - 1 (mod 8)

Sekarang kita lihat pola 5^(n+1) (mod 8):
Untuk n=1: 5^2 = 25 ≡ 1 (mod 8)
Untuk n=2: 5^3 = 125 ≡ 5 (mod 8)
Untuk n=3: 5^4 = 625 ≡ 1 (mod 8)
Untuk n=4: 5^5 = 3125 ≡ 5 (mod 8)

Pola untuk 5^(n+1) (mod 8) adalah 1, 5, 1, 5, ...
Jika n ganjil (n+1 genap), 5^(n+1) ≡ 1 (mod 8).
Jika n genap (n+1 ganjil), 5^(n+1) ≡ 5 (mod 8).

Jadi, 5^(n+1) - 1 (mod 8):
Jika n ganjil: 1 - 1 = 0 (mod 8). Habis dibagi 8.
Jika n genap: 5 - 1 = 4 (mod 8). Tidak habis dibagi 8.

Pernyataan tersebut hanya habis dibagi 8 jika n adalah bilangan asli ganjil.

Mari kita coba analisis modulo 4:
5^(n+1) - 8n - 9 
≡ 5^(n+1) - 0 - 9 (mod 4)
≡ 1^(n+1) - 1 (mod 4)  karena 5 ≡ 1 (mod 4) dan 9 ≡ 1 (mod 4)
≡ 1 - 1 (mod 4)
≡ 0 (mod 4)

Ini berarti bahwa pernyataan tersebut selalu habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli n.

Kesimpulan: Pernyataan matematis 5^(n+1) - 8n - 9 selalu habis dibagi 4.