Persmaaan r = (x^2 + 4x + 2)/(x^2 + 6x + 3) mempunyai akar

r = 2/3 atau r = 1/2

Pembahasan

Persamaan r = (x^2 + 4x + 2)/(x^2 + 6x + 3) akan mempunyai akar real yang kembar jika persamaan kuadrat yang terbentuk dari kesamaan tersebut memiliki diskriminan nol.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1.  **Ubahlah persamaan menjadi bentuk persamaan kuadrat:**
r = (x^2 + 4x + 2) / (x^2 + 6x + 3)
r(x^2 + 6x + 3) = x^2 + 4x + 2
rx^2 + 6rx + 3r = x^2 + 4x + 2

2.  **Susun ulang menjadi bentuk persamaan kuadrat standar (Ax^2 + Bx + C = 0):**
rx^2 - x^2 + 6rx - 4x + 3r - 2 = 0
(r-1)x^2 + (6r-4)x + (3r-2) = 0

3.  **Tentukan koefisien A, B, dan C:**
A = r - 1
B = 6r - 4
C = 3r - 2

4.  **Gunakan syarat akar kembar, yaitu Diskriminan (D) = 0:**
D = B^2 - 4AC = 0
(6r - 4)^2 - 4(r - 1)(3r - 2) = 0

5.  **Jabarkan dan selesaikan persamaan kuadrat untuk r:**
(36r^2 - 48r + 16) - 4(3r^2 - 2r - 3r + 2) = 0
36r^2 - 48r + 16 - 4(3r^2 - 5r + 2) = 0
36r^2 - 48r + 16 - 12r^2 + 20r - 8 = 0
(36r^2 - 12r^2) + (-48r + 20r) + (16 - 8) = 0
24r^2 - 28r + 8 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 4 untuk menyederhanakannya:
6r^2 - 7r + 2 = 0

6.  **Faktorkan persamaan kuadrat untuk r:**
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6*2=12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -7. Bilangan tersebut adalah -3 dan -4.
6r^2 - 3r - 4r + 2 = 0
3r(2r - 1) - 2(2r - 1) = 0
(3r - 2)(2r - 1) = 0

Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai r:
3r - 2 = 0  =>  3r = 2  =>  r = 2/3
2r - 1 = 0  =>  2r = 1  =>  r = 1/2

Jadi, persamaan tersebut mempunyai akar real yang kembar apabila r = 2/3 atau r = 1/2.