Sebuah akar dari persamaan x^2-ax+6=0 adalah kebalikan

Nilai a adalah 5 atau -25/2.

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan x^2-ax+6=0 adalah \(\alpha\) dan \(\beta\). Berdasarkan sifat akar-akar persamaan kuadrat:
\(\alpha + \beta = -(-a)/1 = a\)
\(\alpha \beta = 6/1 = 6\)

Misalkan akar-akar dari persamaan 4x^2-(a+3)x+3=0 adalah \(\gamma\) dan \(\delta\). Berdasarkan sifat akar-akar persamaan kuadrat:
\(\gamma + \delta = -(-(a+3))/4 = (a+3)/4\)
\(\gamma \delta = 3/4\)

Diketahui bahwa salah satu akar dari persamaan pertama adalah kebalikan dari salah satu akar persamaan kedua. Misalkan \(\alpha = 1/\gamma\).

Dari sifat akar, kita tahu bahwa \(\alpha \beta = 6\) dan \(\gamma \delta = 3/4\).
Jika \(\alpha = 1/\gamma\), maka \(\alpha \gamma = 1\).

Sekarang kita gunakan informasi ini:
Kita tahu bahwa \(\alpha\beta = 6\). Jika \(\alpha = 1/\gamma\), maka \((1/\gamma)\beta = 6\), sehingga \(\beta = 6\gamma\).

Kita juga tahu bahwa \(\gamma\delta = 3/4\).

Substitusikan \(\beta = 6\gamma\) ke dalam persamaan akar pertama:
\(\alpha + \beta = a\)
Kita tahu \(\alpha\gamma = 1\) dan \(\beta = 6\gamma\), jadi kita juga bisa menuliskannya sebagai \(\alpha = 1/\gamma\) dan \(\beta = 6/\alpha\).

Mari kita gunakan informasi \(\alpha = 1/\gamma\) dan \(\beta\) adalah akar lain dari persamaan pertama. 
Kita tahu \(\alpha\beta = 6\). Maka \(1/\gamma \cdot \beta = 6\), sehingga \(\beta = 6\gamma\).

Sekarang lihat persamaan kedua: \(4x^2 - (a+3)x + 3 = 0\). Akar-akarnya adalah \(\gamma\) dan \(\delta\). Kita tahu \(\gamma\delta = 3/4\).

Kita memiliki akar \(\alpha\) dan \(\beta\) untuk persamaan pertama \(x^2 - ax + 6 = 0\). Kita tahu \(\alpha\beta = 6\). 
Kita memiliki akar \(\gamma\) dan \(\delta\) untuk persamaan kedua \(4x^2 - (a+3)x + 3 = 0\). Kita tahu \(\gamma\delta = 3/4\).

Diketahui \(\alpha = 1/\gamma\).
Maka \(\alpha\gamma = 1\). 
Dari \(\alpha\beta = 6\) dan \(\alpha = 1/\gamma\), kita dapatkan \(1/\gamma \cdot \beta = 6\), jadi \(\beta = 6\gamma\).

Sekarang kita gunakan sifat jumlah akar:
Untuk persamaan pertama: \(\alpha + \beta = a\)
Ganti \(\alpha\) dan \(\beta\): \(1/\gamma + 6\gamma = a\)

Untuk persamaan kedua: \(\gamma + \delta = (a+3)/4\)
Kita tahu \(\gamma\delta = 3/4\), jadi \(\delta = 3/(4\gamma)\).
Substitusikan \(\delta\) ke dalam jumlah akar:
\(\gamma + 3/(4\gamma) = (a+3)/4\)
Kalikan kedua sisi dengan 4:
\(4\gamma + 3/\gamma = a+3\)
\(a = 4\gamma + 3/\gamma - 3\)

Sekarang kita punya dua ekspresi untuk \(a\):
1. \(a = 1/\gamma + 6\gamma\)
2. \(a = 4\gamma + 3/\gamma - 3\)

Samakan kedua ekspresi:
\(1/\gamma + 6\gamma = 4\gamma + 3/\gamma - 3\)
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
\(6\gamma - 4\gamma + 1/\gamma - 3/\gamma + 3 = 0\)
\(2\gamma - 2/\gamma + 3 = 0\)
Kalikan seluruh persamaan dengan \(\gamma\) (asumsikan \(\gamma \neq 0\)):
\(2\gamma^2 - 2 + 3\gamma = 0\)
\(2\gamma^2 + 3\gamma - 2 = 0\)
Ini adalah persamaan kuadrat dalam \(\gamma\). Kita bisa memfaktorkannya:
\((2\gamma - 1)(\gamma + 2) = 0\)
Jadi, \(\gamma = 1/2\) atau \(\gamma = -2\).

Kasus 1: \(\gamma = 1/2\)
Gunakan \(a = 1/\gamma + 6\gamma\)
\(a = 1/(1/2) + 6(1/2)\)
\(a = 2 + 3\)
\(a = 5\)

Periksa dengan persamaan kedua untuk \(a=5\):
\(a = 4\gamma + 3/\gamma - 3\)
\(5 = 4(1/2) + 3/(1/2) - 3\)
\(5 = 2 + 6 - 3\)
\(5 = 5\). Ini konsisten.

Kasus 2: \(\gamma = -2\)
Gunakan \(a = 1/\gamma + 6\gamma\)
\(a = 1/(-2) + 6(-2)\)
\(a = -1/2 - 12\)
\(a = -1/2 - 24/2\)
\(a = -25/2\)

Periksa dengan persamaan kedua untuk \(a=-25/2\):
\(a = 4\gamma + 3/\gamma - 3\)
\(-25/2 = 4(-2) + 3/(-2) - 3\)
\(-25/2 = -8 - 3/2 - 3\)
\(-25/2 = -11 - 3/2\)
\(-25/2 = -22/2 - 3/2\)
\(-25/2 = -25/2\). Ini juga konsisten.

Karena soal meminta nilai a, dan ada dua kemungkinan nilai a, kita harus memastikan apakah kedua nilai tersebut valid dalam konteks soal. Tidak ada batasan yang diberikan pada nilai a atau akar-akarnya yang akan membuat salah satu nilai tidak valid.