Sebuah perusahaan penambangan timah mem-punyai dua tempat

48 hari untuk Tambang I dan 16 hari untuk Tambang II.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya operasional.

Misalkan:
$x$ = jumlah hari pengoperasian Tambang I
$y$ = jumlah hari pengoperasian Tambang II

Fungsi tujuan (biaya operasional yang ingin diminimalkan):
$Z = 2.000.000x + 2.000.000y$

Kendala:
1. Bijih timah kadar tinggi: $1x + 2y \ge 80$
2. Bijih timah kadar menengah: $4x + 3y \ge 240$
3. Bijih timah kadar rendah: $12x + 5y \ge 480$
4. Non-negatif: $x \ge 0, y \ge 0$

Kita perlu mencari nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kendala dan meminimalkan $Z$.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Cari titik potong dari setiap kendala.
2. Tentukan daerah yang memenuhi semua kendala.
3. Evaluasi fungsi tujuan di setiap titik sudut daerah yang memenuhi.

Titik potong:
* Kendala 1: $x + 2y = 80$
  * Jika $x=0$, $2y = 80 
 \Rightarrow y=40$. Titik (0, 40).
  * Jika $y=0$, $x = 80$. Titik (80, 0).
* Kendala 2: $4x + 3y = 240$
  * Jika $x=0$, $3y = 240 
 \Rightarrow y=80$. Titik (0, 80).
  * Jika $y=0$, $4x = 240 
 \Rightarrow x=60$. Titik (60, 0).
* Kendala 3: $12x + 5y = 480$
  * Jika $x=0$, $5y = 480 
 \Rightarrow y=96$. Titik (0, 96).
  * Jika $y=0$, $12x = 480 
 \Rightarrow x=40$. Titik (40, 0).

Sekarang cari titik potong antar kendala:
* Potongan Kendala 1 dan 2:
  $x + 2y = 80 
 \Rightarrow x = 80 - 2y$
  Substitusi ke Kendala 2:
  $4(80 - 2y) + 3y = 240$
  $320 - 8y + 3y = 240$
  $320 - 5y = 240$
  $5y = 320 - 240$
  $5y = 80$
  $y = 16$
  $x = 80 - 2(16) = 80 - 32 = 48$. Titik potong (48, 16).

* Potongan Kendala 1 dan 3:
  $x + 2y = 80 
 \Rightarrow x = 80 - 2y$
  Substitusi ke Kendala 3:
  $12(80 - 2y) + 5y = 480$
  $960 - 24y + 5y = 480$
  $960 - 19y = 480$
  $19y = 960 - 480$
  $19y = 480$
  $y = 480/19 
 \approx 25.26$
  $x = 80 - 2(480/19) = 80 - 960/19 = (1520 - 960)/19 = 560/19 
 \approx 29.47$. Titik potong (560/19, 480/19).

* Potongan Kendala 2 dan 3:
  $4x + 3y = 240$
  $12x + 5y = 480$
  Kalikan persamaan pertama dengan 3:
  $12x + 9y = 720$
  Kurangkan persamaan kedua:
  $(12x + 9y) - (12x + 5y) = 720 - 480$
  $4y = 240$
  $y = 60$
  Substitusi $y=60$ ke $4x + 3y = 240$:
  $4x + 3(60) = 240$
  $4x + 180 = 240$
  $4x = 60$
  $x = 15$. Titik potong (15, 60).

Titik-titik sudut yang memenuhi kendala (perlu dicek dengan menggambar grafik atau substitusi):
* (40, 0) - Dari kendala 3 saja.
* (60, 0) - Dari kendala 2 saja.
* (0, 40) - Dari kendala 1 saja.
* (48, 16) - Potongan kendala 1 & 2. Cek kendala 3: $12(48) + 5(16) = 576 + 80 = 656 \ge 480$. Memenuhi.
* (560/19, 480/19) - Potongan kendala 1 & 3. Cek kendala 2: $4(560/19) + 3(480/19) = (2240 + 1440)/19 = 3680/19 
 \approx 193.68 < 240$. TIDAK memenuhi kendala 2.
* (15, 60) - Potongan kendala 2 & 3. Cek kendala 1: $15 + 2(60) = 15 + 120 = 135 \ge 80$. Memenuhi.

Titik sudut yang valid adalah:
* (40, 0)
* (60, 0) - ini tidak valid karena $4(60)+3(0)=240$ dan $12(60)+5(0)=720$. Cek kendala 1: $60+2(0)=60<80$. TIDAK memenuhi kendala 1.
* (0, 40) - ini tidak valid karena $4(0)+3(40)=120 < 240$. TIDAK memenuhi kendala 2.
* (48, 16)
* (15, 60)

Mari kita periksa kembali titik potong dan daerah layak.
Grafik akan menunjukkan bahwa daerah layak dibatasi oleh titik-titik:
(40, 0) -> $12x + 5y = 480$
(15, 60) -> $4x + 3y = 240$ dan $12x + 5y = 480$
(48, 16) -> $x + 2y = 80$ dan $4x + 3y = 240$

Titik (40,0) memenuhi $12(40)+5(0)=480$, $4(40)+3(0)=160 < 240$ (tidak memenuhi kendala 2), $1(40)+2(0)=40 < 80$ (tidak memenuhi kendala 1). Jadi (40,0) bukan titik layak.

Titik (60,0) memenuhi $4(60)+3(0)=240$, $12(60)+5(0)=720$. Cek kendala 1: $1(60)+2(0)=60 < 80$ (tidak memenuhi kendala 1). Jadi (60,0) bukan titik layak.

Titik (0,40) memenuhi $1(0)+2(40)=80$, $4(0)+3(40)=120 < 240$ (tidak memenuhi kendala 2), $12(0)+5(40)=200 < 480$ (tidak memenuhi kendala 3). Jadi (0,40) bukan titik layak.

Titik yang perlu diperiksa adalah:
1. Titik potong kendala 1 & 2: (48, 16)
   * kendala 1: $48 + 2(16) = 48 + 32 = 80 
 \ge 80$ (ok)
   * kendala 2: $4(48) + 3(16) = 192 + 48 = 240 
 \ge 240$ (ok)
   * kendala 3: $12(48) + 5(16) = 576 + 80 = 656 
 \ge 480$ (ok)
   Titik (48, 16) adalah titik layak.

2. Titik potong kendala 2 & 3: (15, 60)
   * kendala 1: $15 + 2(60) = 15 + 120 = 135 
 \ge 80$ (ok)
   * kendala 2: $4(15) + 3(60) = 60 + 180 = 240 
 \ge 240$ (ok)
   * kendala 3: $12(15) + 5(60) = 180 + 300 = 480 
 \ge 480$ (ok)
   Titik (15, 60) adalah titik layak.

3. Titik potong kendala 1 & 3:
   $x = 560/19, y = 480/19$. Kita sudah cek sebelumnya, ini tidak memenuhi kendala 2.

Kita juga perlu mempertimbangkan titik potong sumbu-x dan sumbu-y yang memenuhi semua kendala jika ada.
Misal $y=0$. Kendala: $x 
 \ge 80$, $4x 
 \ge 240 
 \Rightarrow x 
 \ge 60$, $12x 
 \ge 480 
 \Rightarrow x 
 \ge 40$. Jadi minimum $x=80$ jika $y=0$. Titik (80,0).

Titik-titik sudut yang perlu dievaluasi:
* (80, 0)
* (15, 60)
* (48, 16)

Evaluasi fungsi tujuan $Z = 2.000.000(x + y)$:
* Di (80, 0): $Z = 2.000.000(80 + 0) = 160.000.000$
* Di (15, 60): $Z = 2.000.000(15 + 60) = 2.000.000(75) = 150.000.000$
* Di (48, 16): $Z = 2.000.000(48 + 16) = 2.000.000(64) = 128.000.000$

Nilai minimum biaya operasional adalah Rp128.000.000,00 yang terjadi ketika Tambang I dioperasikan selama 48 hari dan Tambang II dioperasikan selama 16 hari.