Selesaikan SPLTV berikut dengan determinan (aturan Cramer)

x=1, y=3, z=-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) menggunakan aturan Cramer (determinan), kita perlu menghitung beberapa determinan.

SPLTV yang diberikan:
1) 2x + 3y + z = 9
2) 4x + y = 7
3) x - 3y - 7z = 6

Langkah 1: Tuliskan koefisien dari variabel x, y, dan z dalam bentuk matriks.
Matriks koefisien (D):
| 2  3  1 |
| 4  1  0 |
| 1 -3 -7 |

Langkah 2: Hitung determinan D.
D = 2 * | 1  0 |
        | -3 -7 |
    - 3 * | 4  0 |
            | 1 -7 |
    + 1 * | 4  1 |
            | 1 -3 |

D = 2 * ((1)(-7) - (0)(-3)) - 3 * ((4)(-7) - (0)(1)) + 1 * ((4)(-3) - (1)(1))
D = 2 * (-7 - 0) - 3 * (-28 - 0) + 1 * (-12 - 1)
D = 2 * (-7) - 3 * (-28) + 1 * (-13)
D = -14 + 84 - 13
D = 57

Langkah 3: Hitung determinan Dx (ganti kolom x dengan konstanta).
Dx:
| 9  3  1 |
| 7  1  0 |
| 6 -3 -7 |

Dx = 9 * | 1  0 |
        | -3 -7 |
    - 3 * | 7  0 |
            | 6 -7 |
    + 1 * | 7  1 |
            | 6 -3 |

Dx = 9 * ((1)(-7) - (0)(-3)) - 3 * ((7)(-7) - (0)(6)) + 1 * ((7)(-3) - (1)(6))
Dx = 9 * (-7) - 3 * (-49) + 1 * (-21 - 6)
Dx = -63 + 147 + (-27)
Dx = 57

Langkah 4: Hitung determinan Dy (ganti kolom y dengan konstanta).
Dy:
| 2  9  1 |
| 4  7  0 |
| 1  6 -7 |

Dy = 2 * | 7  0 |
        | 6 -7 |
    - 9 * | 4  0 |
            | 1 -7 |
    + 1 * | 4  7 |
            | 1  6 |

Dy = 2 * ((7)(-7) - (0)(6)) - 9 * ((4)(-7) - (0)(1)) + 1 * ((4)(6) - (7)(1))
Dy = 2 * (-49) - 9 * (-28) + 1 * (24 - 7)
Dy = -98 + 252 + 17
Dy = 171

Langkah 5: Hitung determinan Dz (ganti kolom z dengan konstanta).
Dz:
| 2  3  9 |
| 4  1  7 |
| 1 -3  6 |

Dz = 2 * | 1  7 |
        | -3 6 |
    - 3 * | 4  7 |
            | 1  6 |
    + 9 * | 4  1 |
            | 1 -3 |

Dz = 2 * ((1)(6) - (7)(-3)) - 3 * ((4)(6) - (7)(1)) + 9 * ((4)(-3) - (1)(1))
Dz = 2 * (6 + 21) - 3 * (24 - 7) + 9 * (-12 - 1)
Dz = 2 * (27) - 3 * (17) + 9 * (-13)
Dz = 54 - 51 - 117
Dz = -114

Langkah 6: Hitung nilai x, y, dan z.
x = Dx / D = 57 / 57 = 1
y = Dy / D = 171 / 57 = 3
z = Dz / D = -114 / 57 = -2

Jadi, solusi SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 3, dan z = -2.