Tentukan fungsi F jika diketahui: a. F'(x)=x-2/(x^2) dan

a. F(x) = x^2/2 + 2/x + 6; b. F(x) = (2/3)x^(3/2) - 16/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan integrasi terhadap fungsi turunan yang diberikan untuk menemukan fungsi aslinya, F(x), dan menggunakan kondisi awal yang diberikan untuk menentukan konstanta integrasi.

a. F'(x) = x - 2/x^2
Untuk mencari F(x), kita integralkan F'(x):
F(x) = integral (x - 2/x^2) dx
F(x) = integral x dx - integral 2x^(-2) dx
F(x) = (x^2)/2 - 2 * (x^(-1))/(-1) + C
F(x) = x^2/2 + 2/x + C

Diketahui F(2) = 9. Kita substitusikan x=2 ke dalam F(x):
9 = (2^2)/2 + 2/2 + C
9 = 4/2 + 1 + C
9 = 2 + 1 + C
9 = 3 + C
C = 6

Maka, fungsi F(x) adalah F(x) = x^2/2 + 2/x + 6.

b. F'(x) = akar(x) = x^(1/2)
Untuk mencari F(x), kita integralkan F'(x):
F(x) = integral x^(1/2) dx
F(x) = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C
F(x) = (x^(3/2))/(3/2) + C
F(x) = (2/3)x^(3/2) + C

Diketahui F(4) = 0. Kita substitusikan x=4 ke dalam F(x):
0 = (2/3)(4)^(3/2) + C
0 = (2/3)(sqrt(4))^3 + C
0 = (2/3)(2)^3 + C
0 = (2/3)(8) + C
0 = 16/3 + C
C = -16/3

Maka, fungsi F(x) adalah F(x) = (2/3)x^(3/2) - 16/3.