Tentukan fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut. Setelah

Invers dari f(x)=2x^2-3x+1 adalah y = (3 ± √(8x + 1))/4. Domain invers: [-1/8, ∞).

Pembahasan

Untuk mencari fungsi invers dari f(x) = 2x^2 - 3x + 1, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ganti f(x) dengan y:**
y = 2x^2 - 3x + 1

2.  **Tukar x dan y:**
x = 2y^2 - 3y + 1

3.  **Selesaikan untuk y:**
Ini adalah langkah yang paling rumit karena kita perlu mengubah persamaan kuadrat dalam y menjadi bentuk yang dapat diselesaikan. Kita akan menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.

x - 1 = 2y^2 - 3y

Bagi kedua sisi dengan 2:
(x - 1)/2 = y^2 - (3/2)y

Sekarang, lengkapi kuadrat sempurna pada sisi kanan. Koefisien dari y adalah -3/2. Setengah dari koefisien ini adalah (-3/2)/2 = -3/4. Kuadrat dari -3/4 adalah (-3/4)^2 = 9/16.

Tambahkan 9/16 ke kedua sisi:
(x - 1)/2 + 9/16 = y^2 - (3/2)y + 9/16

Sederhanakan sisi kiri:
(8(x - 1) + 9)/16 = (y - 3/4)^2
(8x - 8 + 9)/16 = (y - 3/4)^2
(8x + 1)/16 = (y - 3/4)^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
±√((8x + 1)/16) = y - 3/4

Selesaikan untuk y:
y = 3/4 ± √(8x + 1)/4
y = (3 ± √(8x + 1))/4

Karena fungsi kuadrat tidak memiliki invers yang unik (kecuali domainnya dibatasi), kita biasanya akan mengambil salah satu cabang. Misalnya, jika kita membatasi x ≥ 3/4, maka inversnya adalah f⁻¹(x) = (3 + √(8x + 1))/4.

**Grafik Fungsi dan Inversnya:**
Grafik f(x) = 2x^2 - 3x + 1 adalah parabola yang terbuka ke atas. Puncaknya berada di x = -b/(2a) = -(-3)/(2*2) = 3/4. Nilai minimumnya adalah f(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = 2(9/16) - 9/4 + 1 = 9/8 - 18/8 + 8/8 = -1/8.

Grafik fungsi invers akan menjadi cerminan dari grafik f(x) terhadap garis y = x. Karena f(x) adalah parabola, inversnya akan menjadi parabola horizontal (atau dua cabang parabola horizontal jika kita tidak membatasi domain).

**Domain dan Range Fungsi Invers:**
Domain dari fungsi invers adalah range dari fungsi aslinya, dan range dari fungsi invers adalah domain dari fungsi aslinya.

Untuk f(x) = 2x^2 - 3x + 1:
Domain asli: Semua bilangan real (ℝ).
Range asli: Karena puncak parabola berada di y = -1/8 dan terbuka ke atas, range-nya adalah [-1/8, ∞).

Oleh karena itu, untuk inversnya (dengan asumsi kita mengambil salah satu cabang, misal f⁻¹(x) = (3 + √(8x + 1))/4):
Domain invers: [-1/8, ∞) (karena 8x + 1 harus ≥ 0, yang berarti x ≥ -1/8).
Range invers: [3/4, ∞) (karena kita memilih cabang '+' dan nilai minimum y adalah 3/4).

Jika kita memilih cabang lain, f⁻¹(x) = (3 - √(8x + 1))/4:
Domain invers: [-1/8, ∞)
Range invers: (-∞, 3/4]

Karena fungsi kuadrat asli tidak memiliki invers yang unik, biasanya soal akan meminta invers pada domain tertentu dari fungsi asli.

**Jawaban Ringkas:**
Fungsi invers dari f(x) = 2x^2 - 3x + 1 adalah y = (3 ± √(8x + 1))/4. Domain invers adalah [-1/8, ∞) dan range invers adalah (-∞, 3/4] ∪ [3/4, ∞) atau salah satu dari interval tersebut tergantung pada cabang yang dipilih.