Tentukan interval x agar kurva fungsi berikut ini dalam

Interval x agar kurva fungsi g(x) selalu turun adalah (1, √2) U (√2, 2).

Pembahasan

Untuk menentukan interval x agar kurva fungsi g(x) selalu turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan tersebut bernilai negatif.
Fungsi: g(x) = (x - 1)^2 / (x^2 - 2)

Kita gunakan aturan pembagian untuk mencari turunan g'(x):
Jika g(x) = u(x) / v(x), maka g'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / [v(x)]^2

Misalkan u(x) = (x - 1)^2, maka u'(x) = 2(x - 1)(1) = 2x - 2.
Misalkan v(x) = x^2 - 2, maka v'(x) = 2x.

Sekarang, kita masukkan ke dalam rumus turunan:
g'(x) = [(2x - 2)(x^2 - 2) - (x - 1)^2(2x)] / (x^2 - 2)^2

Jabarkan bagian pembilang:
(2x - 2)(x^2 - 2) = 2x^3 - 4x - 2x^2 + 4
(x - 1)^2(2x) = (x^2 - 2x + 1)(2x) = 2x^3 - 4x^2 + 2x

Kurangkan kedua hasil:
(2x^3 - 2x^2 - 4x + 4) - (2x^3 - 4x^2 + 2x)
= 2x^3 - 2x^2 - 4x + 4 - 2x^3 + 4x^2 - 2x
= 2x^2 - 6x + 4

Jadi, g'(x) = (2x^2 - 6x + 4) / (x^2 - 2)^2

Agar fungsi selalu turun, g'(x) < 0.
Pembilang: 2x^2 - 6x + 4 = 2(x^2 - 3x + 2) = 2(x - 1)(x - 2)
Penyebut: (x^2 - 2)^2. Karena dikuadratkan, penyebut selalu positif (kecuali jika x^2 - 2 = 0, yaitu x = ±√2).

Kita perlu mencari nilai x agar 2(x - 1)(x - 2) < 0.
Ini terjadi ketika salah satu faktor positif dan yang lainnya negatif.

Kasus 1: (x - 1) > 0 dan (x - 2) < 0
x > 1 dan x < 2
Ini memberikan interval 1 < x < 2.

Kasus 2: (x - 1) < 0 dan (x - 2) > 0
x < 1 dan x > 2
Ini tidak mungkin terjadi.

Kita juga harus mempertimbangkan nilai x yang membuat penyebut nol, yaitu x = √2 dan x = -√2, karena fungsi tidak terdefinisi di titik-titik ini.

Dengan demikian, interval di mana g'(x) < 0 adalah gabungan dari interval di mana pembilang negatif dan penyebut positif, dengan pengecualian titik-titik di mana penyebut nol.

Titik-titik kritis untuk pembilang adalah x = 1 dan x = 2.
Titik-titik kritis untuk penyebut adalah x = -√2 dan x = √2.

Kita perlu menguji tanda g'(x) pada interval-interval yang dibentuk oleh titik-titik ini: (-∞, -√2), (-√2, 1), (1, √2), (√2, 2), (2, ∞).

Di antara x = 1 dan x = 2, pembilang positif.
Kita perlu mengecek penyebut pada interval ini. Penyebut (x^2-2)^2 selalu positif kecuali di x=√2.

Jika kita fokus pada kondisi pembilang < 0, yaitu 1 < x < 2, maka g'(x) akan negatif selama penyebutnya terdefinisi.

Perlu diperhatikan bahwa di x = √2, fungsi tidak terdefinisi. Nilai √2 kira-kira 1.414, yang berada dalam interval (1, 2).

Jadi, kita perlu mempertimbangkan interval (1, √2) dan (√2, 2).
Dalam kedua interval ini, pembilang 2(x-1)(x-2) negatif, dan penyebut (x^2-2)^2 positif.

Oleh karena itu, interval di mana kurva fungsi selalu turun adalah (1, √2) U (√2, 2).

Jawaban Ringkas: (1, √2) U (√2, 2)