Tentukan invers dari setiap matriks persegi berikut. (5 2

Invers matriks adalah [[0, 0, 1/3], [2, -3, 2/3], [-1, 2, -1]].

Pembahasan

Untuk mencari invers dari matriks 3x3, kita perlu menggunakan rumus:
A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A)

Dimana:
det(A) adalah determinan dari matriks A.
adj(A) adalah matriks adjoin dari A, yang merupakan transpose dari matriks kofaktor.

Mari kita definisikan matriks A:
A = [[5, 2, 3],
     [4, 1, 2],
     [3, 0, 0]]

Langkah 1: Hitung Determinan (det(A)).
Kita bisa menggunakan ekspansi kofaktor di sepanjang baris atau kolom mana pun. Mari kita gunakan baris ketiga karena mengandung nol:
det(A) = 3 * C₃₁ + 0 * C₃₂ + 0 * C₃₃
det(A) = 3 * (-1)^(3+1) * M₃₁

M₃₁ adalah minor dari elemen a₃₁ (yaitu 3), yang merupakan determinan dari matriks 2x2 yang tersisa setelah menghapus baris ketiga dan kolom pertama:
M₃₁ = det([[2, 3],
           [1, 2]])
M₃₁ = (2*2) - (3*1) = 4 - 3 = 1

Jadi, det(A) = 3 * 1 * 1 = 3.

Langkah 2: Hitung Matriks Kofaktor.
Kofaktor Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) * Mᵢⱼ

C₁₁ = (-1)² * det([[1, 2], [0, 0]]) = 1 * (0 - 0) = 0
C₁₂ = (-1)³ * det([[4, 2], [3, 0]]) = -1 * (0 - 6) = 6
C₁₃ = (-1)⁴ * det([[4, 1], [3, 0]]) = 1 * (0 - 3) = -3

C₂₁ = (-1)³ * det([[2, 3], [0, 0]]) = -1 * (0 - 0) = 0
C₂₂ = (-1)⁴ * det([[5, 3], [3, 0]]) = 1 * (0 - 9) = -9
C₂₃ = (-1)⁵ * det([[5, 2], [3, 0]]) = -1 * (0 - 6) = 6

C₃₁ = (-1)⁴ * det([[2, 3], [1, 2]]) = 1 * (4 - 3) = 1
C₃₂ = (-1)⁵ * det([[5, 3], [4, 2]]) = -1 * (10 - 12) = -1 * (-2) = 2
C₃₃ = (-1)⁶ * det([[5, 2], [4, 1]]) = 1 * (5 - 8) = -3

Matriks Kofaktor:
[[0,  6, -3],
 [0, -9,  6],
 [1,  2, -3]]

Langkah 3: Hitung Matriks Adjoin (adj(A)).
adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor:
adj(A) = [[0,  0,  1],
          [6, -9,  2],
          [-3, 6, -3]]

Langkah 4: Hitung Invers (A⁻¹).
A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A)
A⁻¹ = (1/3) * [[0,  0,  1],
                [6, -9,  2],
                [-3, 6, -3]]

A⁻¹ = [[0/3,  0/3,  1/3],
        [6/3, -9/3,  2/3],
        [-3/3, 6/3, -3/3]]

A⁻¹ = [[0,   0,  1/3],
        [2,  -3,  2/3],
        [-1,  2, -1]]

Jadi, invers dari matriks tersebut adalah [[0, 0, 1/3], [2, -3, 2/3], [-1, 2, -1]].