Nyatakan sebagai hasilkali bentuk-bentuk berikut.

2cosx+2cos2x = 2cos(2x)(cosx+1), sinx+sin2x+sin3x+sin4x = 4sin(5x/2)cos²(x). Bentuk acosx+bsinx biasanya diubah ke Rcos(x-α).

Pembahasan

Pertanyaan ini tampaknya meminta untuk menyederhanakan atau mengubah bentuk ekspresi trigonometri menjadi hasil kali. Ada tiga ekspresi yang diberikan:
1. acosx + bsinx
2. cosx + 2cos2x + cos3x
3. sinx + sin2x + sin3x + sin4x

Mari kita coba menyederhanakan masing-masing:

1. acosx + bsinx
Bentuk ini dapat dinyatakan sebagai hasil kali menggunakan identitas R-formula, Rcos(x - α) atau Rsin(x + α), di mana R = sqrt(a² + b²).
Namun, ini bukan hasil kali dalam arti perkalian dua fungsi atau konstanta dengan fungsi. Ini adalah penjumlahan yang diubah ke dalam bentuk tunggal.
Jika tujuannya adalah hasil kali, mungkin ada konteks lain yang hilang.

2. cosx + 2cos2x + cos3x
Kita bisa menggunakan identitas penjumlahan-ke-perkalian: cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2).
Mari kita kelompokkan cosx dan cos3x:
(cosx + cos3x) + 2cos2x
= [2cos((x+3x)/2)cos((x-3x)/2)] + 2cos2x
= [2cos(4x/2)cos(-2x/2)] + 2cos2x
= [2cos(2x)cos(-x)] + 2cos2x
Karena cos(-x) = cos(x):
= 2cos(2x)cos(x) + 2cos2x
Sekarang kita bisa memfaktorkan 2cos(2x):
= 2cos(2x) (cosx + 1)

Jadi, cosx + 2cos2x + cos3x = 2cos(2x)(cosx + 1).

3. sinx + sin2x + sin3x + sin4x
Kita bisa mengelompokkan dan menggunakan identitas penjumlahan-ke-perkalian: sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2).
Kelompokkan (sinx + sin4x) dan (sin2x + sin3x):
= [2sin((x+4x)/2)cos((x-4x)/2)] + [2sin((2x+3x)/2)cos((2x-3x)/2)]
= [2sin(5x/2)cos(-3x/2)] + [2sin(5x/2)cos(-x/2)]
Karena cos(-θ) = cos(θ):
= 2sin(5x/2)cos(3x/2) + 2sin(5x/2)cos(x/2)
Sekarang kita bisa memfaktorkan 2sin(5x/2):
= 2sin(5x/2) [cos(3x/2) + cos(x/2)]

Sekarang kita bisa menerapkan identitas penjumlahan-ke-perkalian lagi pada [cos(3x/2) + cos(x/2)]:
= 2sin(5x/2) * [2cos(((3x/2)+(x/2))/2)cos(((3x/2)-(x/2))/2)]
= 2sin(5x/2) * [2cos((4x/2)/2)cos((2x/2)/2)]
= 2sin(5x/2) * [2cos(2x/2)cos(x)]
= 2sin(5x/2) * [2cos(x)cos(x)]
= 4sin(5x/2)cos²(x)

Jadi, sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 4sin(5x/2)cos²(x).

Untuk ekspresi pertama (acosx + bsinx), jika tujuannya adalah mengubahnya menjadi bentuk perkalian, ini biasanya tidak dilakukan kecuali ada faktor umum atau identitas spesifik yang berlaku. Namun, jika pertanyaan mengacu pada koefisien a dan b yang merupakan hasil dari suatu ekspresi, itu konteks yang berbeda. Jika ini adalah bagian dari soal yang lebih besar, mungkin ada informasi tambahan.