Tentukan jarak titik E ke bidang AFH pada kubus ABCD EFGH

(4/3)akar(3) cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik E ke bidang AFH pada kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, kita dapat menggunakan konsep vektor atau proyeksi.

Cara 1: Menggunakan Vektor
Pilih titik A sebagai titik asal (0,0,0).
Koordinat titik-titik pada kubus:
A = (0,0,0)
B = (4,0,0)
C = (4,4,0)
D = (0,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

Bidang AFH dibentuk oleh vektor AF dan AH.
AF = F - A = (4,0,4)
AH = H - A = (0,4,4)

Persamaan bidang AFH dapat dicari dengan menormalisasi vektor normal bidang.
N = AF x AH = | i  j  k |
              | 4  0  4 |
              | 0  4  4 |
N = i(0 - 16) - j(16 - 0) + k(16 - 0) = -16i - 16j + 16k = (-16, -16, 16).
Kita bisa gunakan vektor normal yang lebih sederhana dengan membagi dengan -16: n = (1, 1, -1).

Persamaan bidang AFH adalah n . (x,y,z) = n . A
(1, 1, -1) . (x,y,z) = (1, 1, -1) . (0,0,0)
x + y - z = 0.

Jarak dari titik E(0,0,4) ke bidang x + y - z = 0 adalah:
d = |Axo + Byo + Czo + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
d = |1(0) + 1(0) - 1(4) + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
d = |-4| / sqrt(3)
d = 4 / sqrt(3) = (4/3)sqrt(3) cm.

Cara 2: Menggunakan Proyeksi (Geometri)
Perhatikan segitiga siku-siku AEK, di mana K adalah titik tengah EH. Atau perhatikan segitiga siku-siku pada bidang AFH.
Jarak titik E ke bidang AFH adalah panjang garis tegak lurus dari E ke bidang AFH. Garis ini akan jatuh pada diagonal AC pada bidang ABCD.

Perhatikan segitiga siku-siku AD'H, dimana D' adalah proyeksi E pada bidang ABCD. D' adalah titik D.

Cara yang lebih intuitif:
Kubus memiliki simetri. Jarak dari E ke bidang AFH sama dengan jarak dari C ke bidang BDG (diagonal ruang).
Namun, kita harus menghitung jarak E ke AFH secara langsung.

Misalkan kita buat sistem koordinat lain.
Bidang AFH melewati titik A(0,0,0), F(4,0,4), H(0,4,4).
Titik E adalah (0,0,4).

Alternatif lain: Proyeksikan E ke garis-garis di bidang AFH. Ini akan rumit.

Mari kita gunakan kembali perhitungan vektor yang sudah benar.
Jawaban: (4/3)akar(3) cm.