Tiga buku berjudul Antropologi dan tiga buku berjudul Kimia

3/10

Pembahasan

Soal ini meminta peluang kejadian D, di mana D adalah susunan buku sehingga terdapat tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Buku yang tersedia adalah 3 buku Antropologi (A) dan 3 buku Kimia (K). Buku dengan judul yang sama tidak dibedakan.

Total jumlah susunan yang mungkin dari 6 buku ini adalah permutasi dari objek yang memiliki elemen berulang. Jika semua buku berbeda, akan ada 6! susunan. Namun, karena ada 3 buku Antropologi yang identik dan 3 buku Kimia yang identik, maka total jumlah susunan yang berbeda adalah:

Total susunan = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1))
Total susunan = 720 / (6 * 6) = 720 / 36 = 20.

Jadi, ada 20 kemungkinan susunan buku yang berbeda.

Selanjutnya, kita perlu menghitung jumlah susunan di mana ketiga buku Antropologi (AAA) tersusun secara berurutan, atau ketiga buku Kimia (KKK) tersusun secara berurutan. Kejadian D adalah salah satu dari ini.

Kasus 1: Tiga buku Antropologi tersusun berurutan (AAA).
Kita bisa anggap 'AAA' sebagai satu blok tunggal. Maka kita memiliki blok 'AAA' dan 3 buku Kimia (K, K, K). Kita perlu menyusun (AAA), K, K, K. Ini sama dengan menyusun 4 objek di mana 3 di antaranya adalah identik (K).
Jumlah susunan = 4! / 3! = (4 * 3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1) = 4.
Susunan yang mungkin adalah: AAAKKK, KAAAKK, KKAAAK, KKKAAA.

Kasus 2: Tiga buku Kimia tersusun berurutan (KKK).
Kita bisa anggap 'KKK' sebagai satu blok tunggal. Maka kita memiliki blok 'KKK' dan 3 buku Antropologi (A, A, A). Kita perlu menyusun (KKK), A, A, A. Ini sama dengan menyusun 4 objek di mana 3 di antaranya adalah identik (A).
Jumlah susunan = 4! / 3! = (4 * 3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1) = 4.
Susunan yang mungkin adalah: KKKAAA, AKKKAA, AAKKKA, AAAKKK.

Kejadian D adalah susunan di mana *terdapat* tiga buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Ini berarti bisa jadi AAA berurutan, atau KKK berurutan, atau keduanya berurutan (meskipun ini tidak mungkin dalam satu baris).

Perhatikan bahwa susunan AAAKKK dan KKKAAA keduanya memenuhi syarat D. Kita perlu memastikan tidak ada tumpang tindih dalam penghitungan kejadian D.

Jika kita hitung susunan di mana AAA berurutan (4 susunan) dan susunan di mana KKK berurutan (4 susunan).

Apakah ada susunan yang dihitung dua kali? Susunan di mana ketiga A berurutan DAN ketiga K berurutan. Ini hanya terjadi jika susunannya adalah AAAKKK atau KKKAAA.

Mari kita definisikan:
E1 = kejadian ketiga buku Antropologi tersusun berurutan.
E2 = kejadian ketiga buku Kimia tersusun berurutan.

Jumlah susunan untuk E1 = 4 (seperti dihitung di atas: AAAKKK, KAAAKK, KKAAAK, KKKAAA).
Jumlah susunan untuk E2 = 4 (seperti dihitung di atas: KKKAAA, AKKKAA, AAKKKA, AAAKKK).

Kejadian D adalah E1 U E2 (gabungan E1 dan E2).

Jumlah susunan dalam D = |E1 U E2| = |E1| + |E2| - |E1 ∩ E2|.

E1 ∩ E2 adalah kejadian di mana ketiga buku Antropologi tersusun berurutan DAN ketiga buku Kimia tersusun berurutan. Susunan yang memenuhi ini adalah AAAKKK dan KKKAAA.
Jadi, |E1 ∩ E2| = 2.

Jumlah susunan dalam D = 4 + 4 - 2 = 6.

Susunan yang memenuhi kejadian D adalah:
Dari E1: AAAKKK, KAAAKK, KKAAAK, KKKAAA.
Dari E2: KKKAAA, AKKKAA, AAKKKA, AAAKKK.

Jika kita gabungkan dan hilangkan duplikat:
AAAKKK, KAAAKK, KKAAAK, KKKAAA, AKKKAA, AAKKKA.
Total ada 6 susunan.

Peluang kejadian D = (Jumlah susunan D) / (Total susunan)
Peluang D = 6 / 20.

Peluang D = 3 / 10.

Jawaban ringkas:
Total susunan = 6!/(3!3!) = 20.
Susunan AAA berurutan: Anggap AAA sebagai satu unit. Susun (AAA), K, K, K. Total 4!/3! = 4 susunan.
Susunan KKK berurutan: Anggap KKK sebagai satu unit. Susun (KKK), A, A, A. Total 4!/3! = 4 susunan.
Susunan AAA dan KKK berurutan: AAAKKK, KKKAAA. Ada 2 susunan.
Jumlah susunan D = 4 + 4 - 2 = 6.
Peluang D = 6/20 = 3/10.