Tentukan masing-masing matriks A dan B yang memenuhi

Matriks A dapat berupa \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7/4 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -7/2 & -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 7/2 & 3 \end{pmatrix}, atau \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -7/4 & -3 \end{pmatrix}. Nilai B tidak dapat ditentukan tanpa informasi tambahan.

Pembahasan

Untuk menentukan matriks A dan B yang memenuhi kesamaan A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}, kita perlu mencari matriks A sedemikian rupa sehingga jika dikalikan dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah matriks yang diberikan. Misalkan A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Maka:
A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix}
Kita setarakan dengan matriks yang diberikan:
\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}
Dari kesamaan elemen matriks, kita dapatkan sistem persamaan:
1. a^2 + bc = 1
2. ab + bd = b(a+d) = 0
3. ca + dc = c(a+d) = 7
4. cb + d^2 = 9

Dari persamaan (2), kita punya dua kemungkinan: b=0 atau a+d=0.

Kasus 1: b=0
Jika b=0, maka:
1. a^2 = 1  => a = 1 atau a = -1
3. c(a+d) = 7
4. d^2 = 9  => d = 3 atau d = -3

Jika a=1, d=3: c(1+3) = 7 => 4c = 7 => c = 7/4. Matriks A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7/4 & 3 \end{pmatrix}.
Jika a=1, d=-3: c(1-3) = 7 => -2c = 7 => c = -7/2. Matriks A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -7/2 & -3 \end{pmatrix}.
Jika a=-1, d=3: c(-1+3) = 7 => 2c = 7 => c = 7/2. Matriks A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 7/2 & 3 \end{pmatrix}.
Jika a=-1, d=-3: c(-1-3) = 7 => -4c = 7 => c = -7/4. Matriks A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -7/4 & -3 \end{pmatrix}.

Kasus 2: a+d=0 => d=-a
1. a^2 + bc = 1
3. c(a+d) = 7 => c(0) = 7 => 0 = 7 (Ini tidak mungkin)

Jadi, hanya ada solusi ketika b=0. Ada empat kemungkinan matriks A:
1. A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7/4 & 3 \end{pmatrix}
2. A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -7/2 & -3 \end{pmatrix}
3. A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 7/2 & 3 \end{pmatrix}
4. A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -7/4 & -3 \end{pmatrix}

Karena soal hanya meminta matriks A dan B yang memenuhi kesamaan A^2=(1 0 7 9), dan tidak ada informasi tentang matriks B, maka kita hanya bisa menentukan matriks A. Jika B adalah matriks yang sama dengan A, maka solusi di atas berlaku untuk B juga. Namun, tanpa informasi lebih lanjut tentang B, kita tidak dapat menentukan B secara spesifik jika B berbeda dari A.