Tentukan masing-masing persamaan garis singgung pada

sqrt(7)x - 3y = 12 dan -sqrt(7)x - 3y = 12

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2 + y^2 = 9. Ini adalah lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari (r) = 3.

Titik A yang diberikan adalah (0, -4).

Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2 = r^2 di titik (x1, y1) adalah xx1 + yy1 = r^2.

Karena titik A(0, -4) berada di luar lingkaran (karena 0^2 + (-4)^2 = 16 > 9), maka akan ada dua garis singgung yang dapat ditarik dari titik A ke lingkaran.

Misalkan titik singgungnya adalah (x1, y1). Maka titik ini memenuhi dua kondisi:
1. Titik (x1, y1) terletak pada lingkaran: x1^2 + y1^2 = 9
2. Garis singgung melalui A(0, -4) dan (x1, y1): Persamaan garis singgungnya adalah x*x1 + y*y1 = 9. Karena garis ini melalui A(0, -4), maka substitusikan x=0 dan y=-4 ke dalam persamaan garis singgung:
   0*x1 + (-4)*y1 = 9
   -4*y1 = 9
   y1 = -9/4

Sekarang substitusikan nilai y1 ke persamaan lingkaran untuk mencari x1:
x1^2 + (-9/4)^2 = 9
x1^2 + 81/16 = 9
x1^2 = 9 - 81/16
x1^2 = (144 - 81) / 16
x1^2 = 63 / 16
x1 = ± sqrt(63) / 4
x1 = ± 3*sqrt(7) / 4

Jadi, ada dua titik singgung:
Titik Singgung 1: (3*sqrt(7)/4, -9/4)
Titik Singgung 2: (-3*sqrt(7)/4, -9/4)

Sekarang kita cari persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung:

Untuk Titik Singgung 1 (x1 = 3*sqrt(7)/4, y1 = -9/4):
xx1 + yy1 = 9
x(3*sqrt(7)/4) + y(-9/4) = 9
Kalikan kedua sisi dengan 4/3 untuk menyederhanakan:
x*sqrt(7) - y*3 = 12
Persamaan Garis Singgung 1: sqrt(7)x - 3y = 12

Untuk Titik Singgung 2 (x1 = -3*sqrt(7)/4, y1 = -9/4):
xx1 + yy1 = 9
x(-3*sqrt(7)/4) + y(-9/4) = 9
Kalikan kedua sisi dengan 4/3 untuk menyederhanakan:
x*(-sqrt(7)) - y*3 = 12
-sqrt(7)x - 3y = 12
Persamaan Garis Singgung 2: -sqrt(7)x - 3y = 12 atau sqrt(7)x + 3y = -12

Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2+y^2=9 yang melalui A(0,-4) adalah sqrt(7)x - 3y = 12 dan -sqrt(7)x - 3y = 12.