Tentukan nilai limit fungsi dibawah ini!lim x->1 ((2x-3

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi $\lim_{x \to 1} \frac{(2x - 3\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x-1)^2}$, kita dapat melakukan substitusi langsung terlebih dahulu. Namun, karena akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

Misalkan $y = \sqrt{x}$. Maka, ketika $x \to 1$, $y \to 1$. Persamaan menjadi:

$\lim_{y \to 1} \frac{(2y^2 - 3y + 1)(y - 1)}{(y^2 - 1)^2}$

Faktorkan bentuk kuadratik $2y^2 - 3y + 1$:
$2y^2 - 3y + 1 = (2y - 1)(y - 1)$

Dan faktorkan penyebut $(y^2 - 1)^2$: 
$(y^2 - 1)^2 = ((y-1)(y+1))^2 = (y-1)^2 (y+1)^2$

Substitusikan kembali ke dalam limit:

$\lim_{y \to 1} \frac{(2y - 1)(y - 1)(y - 1)}{(y-1)^2 (y+1)^2}$

$\lim_{y \to 1} \frac{(2y - 1)(y - 1)^2}{(y-1)^2 (y+1)^2}$

Batalkan $(y-1)^2$ dari pembilang dan penyebut:

$\lim_{y \to 1} \frac{2y - 1}{(y+1)^2}$

Sekarang, substitusikan $y = 1$:

$\frac{2(1) - 1}{(1+1)^2} = \frac{2 - 1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{4}$.