Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n^4-51n^2+225

n = 2, 7, -2, -7

Pembahasan

Kita perlu mencari semua bilangan bulat n sehingga ekspresi n^4 - 51n^2 + 225 menghasilkan bilangan prima.

Misalkan P = n^4 - 51n^2 + 225.
Kita bisa mencoba memfaktorkan ekspresi kuadratik ini dengan memisalkan x = n^2.
Maka, P = x^2 - 51x + 225.
Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 225 dan jika dijumlahkan menghasilkan -51.

Faktor-faktor dari 225:
1, 225
3, 75
5, 45
9, 25
15, 15

Kita mencari pasangan yang jumlahnya -51. Dengan mencoba pasangan negatif:
-1 + (-225) = -226
-3 + (-75) = -78
-5 + (-45) = -50
-9 + (-25) = -34
-15 + (-15) = -30

Sepertinya pemfaktoran langsung tidak bekerja dengan mudah. Mari kita coba faktorkan ekspresi asli.

Perhatikan bentuk n^4 - 51n^2 + 225.
Kita bisa menganggapnya sebagai (n^2)^2 - 51(n^2) + 225.
Mari kita coba memfaktorkannya seperti berikut: (n^2 - a)(n^2 - b).
Ini akan menjadi n^4 - (a+b)n^2 + ab. Jadi, kita perlu a+b = 51 dan ab = 225.

Kita perlu mencari dua bilangan yang jumlahnya 51 dan hasil kalinya 225.
Mari kita kembali ke daftar faktor 225:
1, 225 -> 1+225 = 226
3, 75 -> 3+75 = 78
5, 45 -> 5+45 = 50
9, 25 -> 9+25 = 34
15, 15 -> 15+15 = 30

Sepertinya saya salah dalam pemfaktoran atau soal ini memerlukan pendekatan berbeda.

Mari kita coba lagi pemfaktoran: n^4 - 51n^2 + 225.
Kita bisa mencari akar kuadrat dari 225, yaitu 15.
Coba bentuk (n^2 - 15)^2 = n^4 - 30n^2 + 225.
Ini tidak cocok.

Coba bentuk lain:
Kita cari faktor dari 225 yang jumlahnya mendekati 51. 5 dan 45 memberikan jumlah 50. 3 dan 75 memberikan jumlah 78.

Mari kita coba melengkapi kuadrat:
n^4 + 225 - 51n^2
(n^2 + 15)^2 - 2(n^2)(15) - 51n^2
(n^2 + 15)^2 - 30n^2 - 51n^2
(n^2 + 15)^2 - 81n^2

Ini adalah bentuk selisih kuadrat: (A^2 - B^2) = (A - B)(A + B).
Di sini, A = (n^2 + 15) dan B = 9n.

Maka, n^4 - 51n^2 + 225 = (n^2 + 15)^2 - (9n)^2
= (n^2 + 15 - 9n)(n^2 + 15 + 9n)
= (n^2 - 9n + 15)(n^2 + 9n + 15)

Agar ekspresi ini menjadi bilangan prima, salah satu faktor harus bernilai 1 atau -1, dan faktor lainnya harus bernilai prima atau negatif prima.

Kasus 1: n^2 - 9n + 15 = 1
n^2 - 9n + 14 = 0
(n - 2)(n - 7) = 0
n = 2 atau n = 7

Jika n = 2:
Faktor 1: n^2 - 9n + 15 = 2^2 - 9(2) + 15 = 4 - 18 + 15 = 1
Faktor 2: n^2 + 9n + 15 = 2^2 + 9(2) + 15 = 4 + 18 + 15 = 37

Karena 37 adalah bilangan prima, maka n = 2 adalah solusi yang valid.

Jika n = 7:
Faktor 1: n^2 - 9n + 15 = 7^2 - 9(7) + 15 = 49 - 63 + 15 = 1
Faktor 2: n^2 + 9n + 15 = 7^2 + 9(7) + 15 = 49 + 63 + 15 = 127

Kita perlu memeriksa apakah 127 adalah bilangan prima. 127 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7 (127 = 7 * 18 + 1). Coba bagi dengan 11 (127 = 11 * 11 + 6). Coba bagi dengan akar(127) sekitar 11.3. Jadi, 127 adalah bilangan prima.
Maka, n = 7 adalah solusi yang valid.

Kasus 2: n^2 - 9n + 15 = -1
n^2 - 9n + 16 = 0
Diskriminan D = (-9)^2 - 4(1)(16) = 81 - 64 = 17.
Karena diskriminan bukan kuadrat sempurna, n bukan bilangan bulat. Jadi, tidak ada solusi bulat di sini.

Kasus 3: n^2 + 9n + 15 = 1
n^2 + 9n + 14 = 0
(n + 2)(n + 7) = 0
n = -2 atau n = -7

Jika n = -2:
Faktor 1: n^2 - 9n + 15 = (-2)^2 - 9(-2) + 15 = 4 + 18 + 15 = 37
Faktor 2: n^2 + 9n + 15 = (-2)^2 + 9(-2) + 15 = 4 - 18 + 15 = 1

Karena 37 adalah bilangan prima, maka n = -2 adalah solusi yang valid.

Jika n = -7:
Faktor 1: n^2 - 9n + 15 = (-7)^2 - 9(-7) + 15 = 49 + 63 + 15 = 127
Faktor 2: n^2 + 9n + 15 = (-7)^2 + 9(-7) + 15 = 49 - 63 + 15 = 1

Karena 127 adalah bilangan prima, maka n = -7 adalah solusi yang valid.

Kasus 4: n^2 + 9n + 15 = -1
n^2 + 9n + 16 = 0
Diskriminan D = 9^2 - 4(1)(16) = 81 - 64 = 17.
Karena diskriminan bukan kuadrat sempurna, n bukan bilangan bulat. Jadi, tidak ada solusi bulat di sini.

Jadi, nilai-nilai bilangan bulat n yang memenuhi adalah n = 2, n = 7, n = -2, dan n = -7.