Tentukanlah: lim x->0 (x Tan x)/(2 tan^2(1/4 x))= ...

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{x \tan x}{2 \tan^2(\frac{1}{4} x)}$, kita dapat menggunakan sifat limit trigonometri $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Ubah bentuk soal agar sesuai dengan sifat limit:
   $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \tan x}{2 \tan^2(\frac{1}{4} x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \cdot \frac{\tan x}{\tan(\frac{1}{4} x)} $$ 
2. Manipulasi bentuk agar melibatkan $\theta$ dan $\frac{\tan \theta}{\theta}$:
   $$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\tan(\frac{1}{4} x)} \cdot \frac{\tan x}{1} \cdot \frac{1}{\tan(\frac{1}{4} x)} $$ 
   Kita perlu mengalikan dan membagi dengan $\frac{1}{4}x$ agar sesuai dengan sifat limit:
   $$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{\frac{1}{4} x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \right) \cdot \left( \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{x}{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{\frac{1}{4} x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \right) $$ 
   Ini menjadi sedikit rumit. Cara yang lebih mudah adalah sebagai berikut:
   $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \tan x}{2 \tan^2(\frac{1}{4} x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \cdot \frac{\tan x}{\tan(\frac{1}{4} x)} $$ 
   Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{\tan(bx)} = \frac{a}{b}$.
   Maka:
   $$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \right) $$ 
   $$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\frac{\tan(\frac{1}{4} x)}{x}} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \right) $$ 
   Gunakan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$. Untuk $\tan(\frac{1}{4}x)$, $\theta = \frac{1}{4}x$. Jadi kita perlu mengalikan dengan $\frac{1}{4}$ di pembilang dan penyebut.
   $$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(\frac{1}{4} x)} \cdot \frac{\tan x}{\tan(\frac{1}{4} x)} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{1} \cdot \frac{\tan x}{1} \cdot \frac{1}{(\frac{1}{4} x)^2} \cdot (\frac{1}{4} x)^2 $$ 
   Ini juga salah. Mari kita gunakan substitusi.
   Misalkan $y = \tan x$. Ketika $x \to 0$, $y \to 0$. Ini tidak membantu.

   Mari kita gunakan sifat $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{ax} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\tan ax} = 1$.
   $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \tan x}{2 \tan^2(\frac{1}{4} x)} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{\tan x}{x} \cdot x}{(\frac{\tan(\frac{1}{4} x)}{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} x)^2} $$ 
   $$ = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 1 \cdot x}{(\frac{\tan(\frac{1}{4} x)}{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} x)^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1 \cdot \frac{1}{4} x)^2} $$ 
   $$ = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(\frac{1}{4} x)^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{1}{16} x^2} $$ 
   $$ = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 $$ 

Jawaban: Nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{x \tan x}{2 \tan^2(\frac{1}{4} x)}$ adalah 8.