Tunjukkan bahwa C(n, k) ekuivalen C(n, n-k)

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ dan $C(n, n-k) = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$, sehingga keduanya ekuivalen.

Pembahasan

Kita perlu menunjukkan bahwa kombinasi $C(n, k)$ ekuivalen dengan $C(n, n-k)$.

Rumus kombinasi $C(n, k)$ (dibaca 'n choose k') adalah jumlah cara memilih $k$ objek dari himpunan $n$ objek tanpa memperhatikan urutan, dan dirumuskan sebagai:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Sekarang, mari kita lihat $C(n, n-k)$. Mengganti $k$ dengan $(n-k)$ dalam rumus di atas:

$C(n, n-k) = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}$

Sederhanakan bagian penyebut:
$n - (n-k) = n - n + k = k$

Maka, $C(n, n-k)$ menjadi:

$C(n, n-k) = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Dengan membandingkan kedua rumus tersebut:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C(n, n-k) = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Karena perkalian bersifat komutatif (urutan tidak mempengaruhi hasil), maka $k!(n-k)! = (n-k)!k!$.

Oleh karena itu, $C(n, k) = C(n, n-k)$.

Ini berarti bahwa memilih $k$ objek dari $n$ objek sama dengan memilih $(n-k)$ objek yang tidak akan dipilih dari $n$ objek tersebut.