ABCDEF adalah suatu segienam beraturan. Jika AB=a dan BC=b

CD = b - a, DE = -a, EF = -b, FA = a - b

Pembahasan

Segienam beraturan ABCDEF memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar. Jika AB = a dan BC = b, maka karena segienam beraturan, panjang semua sisinya sama, sehingga AB = BC = CD = DE = EF = FA = a. Namun, dalam soal disebutkan AB=a dan BC=b. Jika ini adalah segienam beraturan, maka a harus sama dengan b.

Asumsikan bahwa yang dimaksud adalah segienam ABCDEF dengan AB=a dan ada informasi lain yang relevan atau ada kesalahan penulisan dalam soal.

Jika kita mengasumsikan bahwa 'a' dan 'b' merujuk pada vektor, dan ABCDEF adalah segienam beraturan, maka:

Vektor AB = $\vec{u}$
Karena segienam beraturan, maka panjang semua sisi sama. Maka $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = |\vec{DE}| = |\vec{EF}| = |\vec{FA}|$.

Jika AB = a dan BC = b, ini menyiratkan a=b jika segienam beraturan.

Mari kita anggap vektor AB = $\vec{a}$ dan vektor BC = $\vec{b}$. Dalam segienam beraturan, vektor-vektor sisi berurutan memiliki hubungan:

$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{BC} = \vec{b}$
Karena segienam beraturan, sudut antar sisi adalah 120 derajat. Maka:
$\vec{CD}$ akan memiliki arah yang berbeda dari $\vec{BC}$. Jika kita menggambarkan segienam beraturan, kita bisa melihat hubungan antar vektornya.

Untuk segienam beraturan, vektor-vektor yang ditentukan oleh keempat sisi lainnya secara berurutan adalah:

1. Vektor CD:
   Vektor CD dapat diuraikan berdasarkan vektor AB dan BC. Dengan menggunakan aturan jajar genjang atau segitiga, kita bisa mengekspresikan vektor diagonal. Namun, untuk sisi segienam beraturan, kita bisa menggunakan simetri.
   Jika kita anggap pusat segienam adalah O, maka $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF} = \vec{0}$.
   Dalam kasus segienam beraturan, $\vec{CD} = \vec{BA} + \vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$ (Ini tidak benar untuk segienam beraturan).

   Cara yang lebih tepat untuk segienam beraturan:
   $\vec{AB} = \vec{a}$
   $\vec{BC} = \vec{b}$
   $\vec{CD} = \vec{CB} + \vec{BD} = -\vec{b} + (\vec{BC} + \vec{CD})$
   Ini menjadi rumit tanpa koordinat atau sudut yang jelas.

   Jika AB=a dan BC=b, dan ini segienam beraturan, maka a=b. Mari kita asumsikan a dan b adalah panjang sisi. Maka |
   $\vec{AB}| = a$, |$\vec{BC}| = a$. Sudut antara AB dan BC adalah 120 derajat.

   $\vec{CD}$: akan sejajar dengan $\vec{AF}$ dan berlawanan arah dengan $\vec{BC}$ jika kita memproyeksikan. Namun, ini juga tidak tepat.

   Mari kita gunakan representasi vektor standar:
   $\vec{AB} = \vec{a}$
   $\vec{BC} = \vec{b}$
   Maka $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

   Dalam segienam beraturan:
   $\vec{CD}$ berlawanan arah dengan $\vec{AF}$ dan sejajar $\vec{BC}$ tetapi arahnya berlawanan. Ini juga salah.

   Mari kita perhatikan sudut:
   Sudut ABC = 120 derajat.
   Vektor CD akan membentuk sudut 120 derajat dengan BC. Jika kita putar BC searah jarum jam sejauh 120 derajat, kita mendapatkan arah CD.

   Hubungan vektor dalam segienam beraturan:
   $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FA} = \vec{0}$

   Jika $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$, maka:
   $\vec{CD}$: Vektor ini akan berlawanan arah dengan $\vec{FA}$ dan sejajar dengan $\vec{BC}$ (tapi bukan $\vec{b}$). Ini sangat membingungkan jika a dan b tidak didefinisikan dengan jelas. 

   Asumsi paling logis adalah jika ABCDEF adalah segienam beraturan, maka panjang semua sisi sama. Jadi, jika AB = a, maka semua sisi lainnya juga panjangnya a.

   Jika demikian, mari kita gunakan notasi vektor standar:
   $\vec{AB} = \vec{a}$
   $\vec{BC} = \vec{c}$
   $\vec{CD} = \vec{d}$
   $\vec{DE} = \vec{e}$
   $\vec{EF} = \vec{f}$
   $\vec{FA} = \vec{g}$

   Dalam segienam beraturan:
   $\vec{c}$ diperoleh dengan memutar $\vec{a}$ sebesar 120 derajat berlawanan arah jarum jam.
   $\vec{d}$ diperoleh dengan memutar $\vec{c}$ sebesar 120 derajat berlawanan arah jarum jam (atau $\vec{a}$ sebesar 240 derajat).
   $\vec{e}$ diperoleh dengan memutar $\vec{d}$ sebesar 120 derajat berlawanan arah jarum jam.
   $\vec{f}$ diperoleh dengan memutar $\vec{e}$ sebesar 120 derajat berlawanan arah jarum jam.
   $\vec{g}$ diperoleh dengan memutar $\vec{f}$ sebesar 120 derajat berlawanan arah jarum jam.

   Jika AB=a dan BC=b, dan ini adalah segienam beraturan, maka a=b. Soal ini tampaknya mengandung informasi yang bertentangan atau kurang jelas.

   Namun, jika kita menginterpretasikan soal sebagai:
   Diberikan vektor $\vec{AB}$ dan vektor $\vec{BC}$ pada segienam beraturan ABCDEF, di mana $|\vec{AB}| = a$ dan $|\vec{BC}| = b$ (yang menyiratkan a=b).
   Kita perlu menemukan vektor $\vec{CD}$, $\vec{DE}$, $\vec{EF}$, $\vec{FA}$.

   Menggunakan hubungan vektor pada segienam beraturan:
   $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EF} + \vec{FA} = \vec{0}$

   Dan sifat simetri:
   $\vec{CD} = \vec{BA} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$ (Ini hanya berlaku untuk jajargenjang).

   Dalam segienam beraturan:
   $\vec{CD}$ sejajar dengan $\vec{AF}$ dan berlawanan arah.
   $\vec{DE}$ sejajar dengan $\vec{BC}$ dan berlawanan arah.
   $\vec{EF}$ sejajar dengan $\vec{AB}$ dan berlawanan arah.
   $\vec{FA}$ sejajar dengan $\vec{CD}$ dan berlawanan arah.

   Jika $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$, maka:
   $\vec{DE}$ berlawanan arah dengan $\vec{BC}$, jadi $\vec{DE} = -\vec{b}$
   $\vec{EF}$ berlawanan arah dengan $\vec{AB}$, jadi $\vec{EF} = -\vec{a}$
   $\vec{FA}$ berlawanan arah dengan $\vec{CD}$. Kita perlu mencari $\vec{CD}$ terlebih dahulu.

   Hubungan antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dalam segienam beraturan:
   $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$
   $\vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{CD}$

   Jika kita menggunakan representasi polar atau koordinat:
   Misalkan A=(0,0), B=(a,0). Maka $\vec{AB} = (a, 0)$.
   C akan berada pada jarak a dari B, dengan sudut 120 derajat terhadap AB.
   Koordinat C = $(a + a \cos(120^{\circ}), a \sin(120^{\circ})) = (a - a/2, a\sqrt{3}/2) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$.
   $\vec{BC} = (a/2, a\sqrt{3}/2) - (a,0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$.
   Jadi, jika $\vec{AB} = (a,0)$, maka $\vec{BC} = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$.
   Dalam soal ini, $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$. Maka $\vec{a} = (a,0)$ dan $\vec{b} = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$ (dengan asumsi panjang sisi adalah $a$).

   Sekarang kita cari vektor sisi lainnya:
   $\vec{CD}$: akan sejajar dengan $\vec{AF}$. Sudut antara BC dan CD adalah 120 derajat.
   Koordinat D = Koordinat C + Vektor CD.
   Vektor CD diperoleh dengan memutar vektor BC sejauh 120 derajat berlawanan arah jarum jam.
   Atau, vektor CD sejajar dengan sumbu x negatif jika kita menganggap AB sejajar sumbu x positif.
   Jika $\vec{AB} = (a,0)$
   $\vec{BC} = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$
   $\vec{CD} = (-a, 0)$
   $\vec{DE} = (-a/2, -a\sqrt{3}/2)$
   $\vec{EF} = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$
   $\vec{FA} = (a, 0)$ (Ini salah, harusnya $\vec{FA} = -\vec{CD} = (a,0)$).
   Mari kita ulangi koordinatnya agar lebih mudah.

   Misal pusat segienam di (0,0).
   A = (a, 0)
   B = $(a \cos(60^{\circ}), a \sin(60^{\circ})) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$
   C = $(a \cos(120^{\circ}), a \sin(120^{\circ})) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$
   D = $(a \cos(180^{\circ}), a \sin(180^{\circ})) = (-a, 0)$
   E = $(a \cos(240^{\circ}), a \sin(240^{\circ})) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2)$
   F = $(a \cos(300^{\circ}), a \sin(300^{\circ})) = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$

   Jika A=(0,0), B=(a,0) maka $\vec{AB} = (a,0) = \vec{a}$.
   C = $(a + a \cos(120^{\circ}), a \sin(120^{\circ})) = (a - a/2, a\sqrt{3}/2) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$.
   $\vec{BC} = (a/2, a\sqrt{3}/2) - (a,0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2) = \vec{b}$.

   Vektor sisi lainnya:
   $\vec{CD}$: D = C + $\vec{CD}$.
   D = $(a/2, a\sqrt{3}/2) + \vec{CD}$.
   Kita tahu $\vec{CD}$ sejajar dengan sumbu x negatif, panjang a.
   D = $(a/2 - a, a\sqrt{3}/2) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$.
   Jadi, $\vec{CD} = (-a, 0)$.

   $\vec{DE}$: E = D + $\vec{DE}$.
   E = $(-a/2, a\sqrt{3}/2) + \vec{DE}$.
   Vektor DE membentuk sudut -120 derajat dengan sumbu x positif.
   $\vec{DE} = (a \cos(-120^{\circ}), a \sin(-120^{\circ})) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2)$.
   E = $(-a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2) = (-a, 0)$. Ini salah.

   Mari kita gunakan hubungan vektor langsung:
   $\vec{AB} = \vec{a}$
   $\vec{BC} = \vec{b}$
   Dalam segienam beraturan, $\vec{CD}$ adalah hasil rotasi $\vec{AB}$ sebesar 240 derajat atau rotasi $\vec{BC}$ sebesar 120 derajat.
   Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ diberikan, dan $|\vec{a}| = |\vec{b}| = s$ (panjang sisi), dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah 120 derajat.

   Hubungan vektor pada segienam beraturan:
   $\vec{CD} = \vec{BD} - \vec{BC}$
   $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$

   Jika $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$, maka:
   $\vec{DE}$ berlawanan arah dengan $\vec{BC}$, jadi $\vec{DE} = -\vec{b}$
   $\vec{EF}$ berlawanan arah dengan $\vec{AB}$, jadi $\vec{EF} = -\vec{a}$
   $\vec{FA}$ berlawanan arah dengan $\vec{CD}$.

   Kita perlu menemukan $\vec{CD}$ dalam bentuk $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
   Karena segienam beraturan, $\vec{CD}$ dapat diekspresikan dalam $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
   Menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC:
   $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos(120^{\circ})$
   $AC^2 = a^2 + a^2 - 2 a \cdot a \cdot (-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
   $AC = a\sqrt{3}$.
   Maka $|\vec{a} + \vec{b}| = a\sqrt{3}$.

   Dalam segienam beraturan, $\vec{CD}$ dapat dinyatakan sebagai $\vec{CD} = \vec{BA} + \vec{AD}$. Ini juga tidak membantu.

   Mari kita gunakan sifat bahwa $\vec{CD}$ sama dengan proyeksi $\vec{BC}$ ke arah tertentu ditambah proyeksi $\vec{AB}$ ke arah tertentu.

   Jika $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$, maka:
   $\vec{CD}$: Vektor ini akan sejajar dengan vektor $\vec{FA}$ tetapi berlawanan arah. Vektor ini juga memiliki hubungan dengan $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
   $\vec{CD} = \vec{a} + 2\vec{b}$ (Ini juga tidak benar).

   Hubungan yang benar untuk segienam beraturan:
   Jika $\vec{AB} = \vec{u}$ dan $\vec{BC} = \vec{v}$, maka:
   $\vec{CD} = \vec{v} - \vec{u}$
   $\vec{DE} = -\vec{u}$
   $\vec{EF} = -\vec{v}$
   $\vec{FA} = \vec{u} - \vec{v}$

   Dengan asumsi ini, jika $\vec{AB} = \vec{a}$ dan $\vec{BC} = \vec{b}$:
   $\vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$
   $\vec{DE} = -\vec{a}$
   $\vec{EF} = -\vec{b}$
   $\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$

   Periksa apakah jumlahnya nol: $\vec{a} + \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) + (-\vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{b} + \vec{a} - \vec{b} = (1-1-1+1)\vec{a} + (1+1-1-1)\vec{b} = 0\vec{a} + 0\vec{b} = \vec{0}$.
   Ini adalah hubungan vektor yang benar untuk segienam beraturan.

   Jadi, jika AB=a dan BC=b (mengacu pada vektor $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$):
   Keempat sisi lainnya secara berurutan adalah:
   1. Vektor CD = $\vec{b} - \vec{a}$
   2. Vektor DE = $-\vec{a}$
   3. Vektor EF = $-\vec{b}$
   4. Vektor FA = $\vec{a} - \vec{b}$

   Catatan: Jika a dan b adalah panjang sisi, maka haruslah a=b untuk segienam beraturan. Dalam konteks vektor, $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah vektor sisi.
   Jawaban ini mengasumsikan a dan b adalah vektor sisi AB dan BC.