Banyak pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan 2 x^(2)-|x

Terdapat 2 pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:
1) 2x² - |xy| + 1 = 0
2) (4x - y)² + y² = 8

Dari persamaan (1), kita bisa melihat beberapa hal. Karena 2x² ≥ 0 dan 1 > 0, maka agar persamaan ini terpenuhi, suku -|xy| harus bernilai negatif dan cukup besar untuk mengimbangi 2x² + 1. Ini berarti xy harus bernilai positif, sehingga |xy| = xy. Atau, jika xy bernilai negatif, |xy| = -xy.

Mari kita analisis persamaan (2): (4x - y)² + y² = 8.
Ini adalah persamaan yang melibatkan kuadrat, yang berarti nilainya selalu non-negatif. Jika kita ekspansi: 16x² - 8xy + y² + y² = 8  => 16x² - 8xy + 2y² = 8 => 8x² - 4xy + y² = 4.

Kita bisa mencoba beberapa pendekatan, misalnya substitusi atau analisis kasus berdasarkan tanda xy.

Jika kita coba kasus sederhana, misalnya jika y = 2x, substitusikan ke persamaan (1):
2x² - |x(2x)| + 1 = 0
2x² - |2x²| + 1 = 0
Karena 2x² selalu positif, |2x²| = 2x².
2x² - 2x² + 1 = 0
1 = 0, yang kontradiksi. Jadi, y ≠ 2x.

Jika kita coba manipulasi persamaan (2) dengan cara lain. Misalkan kita lihat persamaan (2) dalam bentuk matriks atau analisis geometri. Persamaan (4x - y)² + y² = 8 adalah sebuah elips yang terotasi atau bentuk lain tergantung variasinya.

Mari kita perhatikan kembali persamaan (1): 2x² + 1 = |xy|.
Karena |xy| ≥ 0, maka 2x² + 1 ≥ 0, yang selalu benar untuk setiap x real.

Sekarang, mari kita substitusikan y dari persamaan (2) ke persamaan (1) atau sebaliknya. Ini bisa menjadi rumit.

Mari kita coba pecah persamaan (2) berdasarkan kemungkinan nilai xy dari persamaan (1).

Kasus 1: xy ≥ 0, sehingga |xy| = xy.
Persamaan (1) menjadi: 2x² - xy + 1 = 0  => xy = 2x² + 1.
Substitusikan xy ke dalam bentuk yang diekspansi dari (2): 8x² - 4(2x² + 1) + y² = 4
8x² - 8x² - 4 + y² = 4
y² = 8.
Jika y² = 8, maka y = ±√8 = ±2√2.
Jika y = 2√2, substitusikan ke xy = 2x² + 1:
x(2√2) = 2x² + 1
2√2 x - 2x² - 1 = 0
2x² - 2√2 x + 1 = 0.
Diskriminan (D) = b² - 4ac = (-2√2)² - 4(2)(1) = (4 * 2) - 8 = 8 - 8 = 0.
Karena D = 0, ada satu solusi real untuk x: x = -b / 2a = -(-2√2) / (2 * 2) = 2√2 / 4 = √2 / 2.
Untuk kasus ini, xy = (√2 / 2)(2√2) = (2 * 2) / 2 = 2. Dan 2 ≥ 0, jadi kondisi xy ≥ 0 terpenuhi.
Kita juga perlu cek apakah pasangan (x, y) = (√2/2, 2√2) memenuhi persamaan (2):
(4x - y)² + y² = (4(√2/2) - 2√2)² + (2√2)² = (2√2 - 2√2)² + 8 = 0² + 8 = 8. Ini benar.
Jadi, (√2/2, 2√2) adalah satu solusi.

Jika y = -2√2, substitusikan ke xy = 2x² + 1:
x(-2√2) = 2x² + 1
-2√2 x - 2x² - 1 = 0
2x² + 2√2 x + 1 = 0.
Diskriminan (D) = b² - 4ac = (2√2)² - 4(2)(1) = 8 - 8 = 0.
Karena D = 0, ada satu solusi real untuk x: x = -b / 2a = -(2√2) / (2 * 2) = -2√2 / 4 = -√2 / 2.
Untuk kasus ini, xy = (-√2 / 2)(-2√2) = (2 * 2) / 2 = 2. Dan 2 ≥ 0, jadi kondisi xy ≥ 0 terpenuhi.
Kita juga perlu cek apakah pasangan (x, y) = (-√2/2, -2√2) memenuhi persamaan (2):
(4x - y)² + y² = (4(-√2/2) - (-2√2))² + (-2√2)² = (-2√2 + 2√2)² + 8 = 0² + 8 = 8. Ini benar.
Jadi, (-√2/2, -2√2) adalah solusi kedua.

Kasus 2: xy < 0, sehingga |xy| = -xy.
Persamaan (1) menjadi: 2x² - (-xy) + 1 = 0  => 2x² + xy + 1 = 0  => xy = -2x² - 1.
Substitusikan xy ke dalam bentuk yang diekspansi dari (2): 8x² - 4xy + y² = 4
8x² - 4(-2x² - 1) + y² = 4
8x² + 8x² + 4 + y² = 4
16x² + y² = 0.
Karena 16x² ≥ 0 dan y² ≥ 0, satu-satunya cara agar jumlahnya adalah 0 adalah jika kedua suku adalah 0. Jadi, 16x² = 0 => x = 0, dan y² = 0 => y = 0.
Jika x = 0 dan y = 0, maka xy = 0. Namun, kita berada dalam kasus xy < 0. Jadi, tidak ada solusi dari kasus ini.

Kita sudah menemukan 2 solusi dari Kasus 1. Mari kita pastikan tidak ada solusi lain atau kesalahan.

Periksa lagi persamaan (2): (4x - y)² + y² = 8.
Ini bisa ditulis sebagai: (4x)² - 8xy + y² + y² = 8  => 16x² - 8xy + 2y² = 8 => 8x² - 4xy + y² = 4.

Dari Kasus 1, kita mendapatkan y² = 8, yang berarti y = ±2√2.
Jika y = 2√2, substitusikan ke 8x² - 4xy + y² = 4:
8x² - 4x(2√2) + (2√2)² = 4
8x² - 8√2 x + 8 = 4
8x² - 8√2 x + 4 = 0
Bagi dengan 4: 2x² - 2√2 x + 1 = 0.
Ini adalah kuadrat sempurna: (√2 x - 1)² = 0 => √2 x = 1 => x = 1/√2 = √2/2.
Pasangan (√2/2, 2√2) memenuhi xy ≥ 0 (karena xy = 2). Solusi ini valid.

Jika y = -2√2, substitusikan ke 8x² - 4xy + y² = 4:
8x² - 4x(-2√2) + (-2√2)² = 4
8x² + 8√2 x + 8 = 4
8x² + 8√2 x + 4 = 0
Bagi dengan 4: 2x² + 2√2 x + 1 = 0.
Ini adalah kuadrat sempurna: (√2 x + 1)² = 0 => √2 x = -1 => x = -1/√2 = -√2/2.
Pasangan (-√2/2, -2√2) memenuhi xy ≥ 0 (karena xy = 2). Solusi ini valid.

Jadi, ada tepat dua pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Banyak pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan 2x^(2)-|x y|+1=0 dan (4 x-y)^(2)+y^(2)=8 adalah 2.