Buktikan bahwa n^4-n^2 habis dibagi oleh 12 untuk sembarang

Faktorkan $n^4 - n^2$ menjadi $n^2(n-1)(n+1)$. Tunjukkan bahwa ekspresi ini habis dibagi 3 (karena ada tiga bilangan berurutan) dan habis dibagi 4 (dengan menganalisis kasus $n$ genap dan ganjil). Karena habis dibagi 3 dan 4, maka habis dibagi 12.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa $n^4 - n^2$ habis dibagi oleh 12 untuk sembarang bilangan bulat $n > 1$, kita dapat memfaktorkan ekspresi tersebut dan menunjukkan bahwa faktor-faktornya mencakup faktor-faktor dari 12 (yaitu, 3 dan 4).

Ekspresi yang diberikan adalah $n^4 - n^2$.

Langkah 1: Faktorkan ekspresi.
Kita bisa mengeluarkan $n^2$ sebagai faktor persekutuan:
$$ n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1) $$ 

Selanjutnya, kita bisa memfaktorkan selisih kuadrat $(n^2 - 1)$:
$$ n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) $$ 

Jadi, ekspresi yang difaktorkan sepenuhnya adalah:
$$ n^4 - n^2 = n^2(n - 1)(n + 1) $$ 

Kita dapat menyusun ulang faktor-faktornya menjadi:
$$ n^4 - n^2 = (n - 1)n 	imes n(n + 1) $$ 

Atau lebih baik lagi:
$$ n^4 - n^2 = (n-1)n(n+1) 	imes n $$ 

Perhatikan tiga suku berurutan $(n-1)$, $n$, dan $(n+1)$.

Langkah 2: Analisis keterbagian oleh 3.
Dalam setiap tiga bilangan bulat berurutan, pasti ada satu bilangan yang habis dibagi 3. Karena $(n-1)$, $n$, dan $(n+1)$ adalah tiga bilangan bulat berurutan, maka salah satu dari mereka pasti habis dibagi 3. Oleh karena itu, hasil kali $(n-1)n(n+1)$ pasti habis dibagi 3.

Karena $n^4 - n^2 = (n-1)n(n+1) 	imes n$, dan $(n-1)n(n+1)$ sudah habis dibagi 3, maka $n^4 - n^2$ juga pasti habis dibagi 3.

Langkah 3: Analisis keterbagian oleh 4.
Kita perlu menunjukkan bahwa $n^4 - n^2$ habis dibagi oleh 4.
Kita tahu bahwa $n^4 - n^2 = (n-1)n(n+1)n$.

Ada dua kasus untuk $n$:
Kasus 1: $n$ adalah bilangan genap.
Jika $n$ genap, maka $n$ dapat ditulis sebagai $2k$ untuk suatu bilangan bulat $k$. 
Dalam ekspresi $(n-1)n(n+1)$, jika $n$ genap, maka $(n-1)$ dan $(n+1)$ adalah bilangan ganjil. Namun, $n$ itu sendiri adalah genap. 
Mari kita lihat ekspresi $n^2(n^2-1)$.
Jika $n$ genap, maka $n^2$ adalah kelipatan 4 (karena $n=2k 
ightarrow n^2 = (2k)^2 = 4k^2$).
Jika $n^2$ adalah kelipatan 4, maka $n^2(n^2-1)$ pasti habis dibagi 4, terlepas dari apakah $(n^2-1)$ genap atau ganjil.

Kasus 2: $n$ adalah bilangan ganjil.
Jika $n$ ganjil, maka $n^2$ juga ganjil. Ini berarti $(n^2-1)$ adalah bilangan genap.
Lebih spesifik lagi, jika $n$ ganjil, maka $n$ dapat ditulis sebagai $2k+1$. 
Maka $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$. 
Sehingga $n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$.
Karena $k(k+1)$ selalu genap (salah satu dari $k$ atau $k+1$ pasti genap), maka $k(k+1) = 2m$ untuk suatu bilangan bulat $m$.
Maka $n^2 - 1 = 4(2m) = 8m$. Ini berarti jika $n$ ganjil, maka $(n^2-1)$ habis dibagi 8.

Karena $n^4 - n^2 = n^2(n^2-1)$, dan jika $n$ ganjil, $(n^2-1)$ habis dibagi 8, maka $n^2(n^2-1)$ pasti habis dibagi 8, dan oleh karena itu pasti habis dibagi 4.

Alternatif untuk keterbagian oleh 4 menggunakan $(n-1)n(n+1)n$: 
Jika $n$ genap, maka $n=2k$. Hasilnya $(2k-1)(2k)(2k+1)(2k)$. Ini jelas habis dibagi 4 karena ada dua faktor $2k$. 
Jika $n$ ganjil, maka $n-1$ dan $n+1$ adalah genap. Sebut $n-1 = 2p$ dan $n+1 = 2q$. Maka ekspresi menjadi $(2p)(n)(2q)n$. Karena $n$ ganjil, $n^2$ ganjil. Tapi kita punya $(n-1)(n+1) = (n^2-1)$. Jika $n$ ganjil, $n 	o n 	ext{ mod } 4 	ext{ is } 1 	ext{ or } 3$. 
Jika $n 	ext{ mod } 4 = 1$, maka $n-1 	ext{ mod } 4 = 0$ (habis dibagi 4) dan $n+1 	ext{ mod } 4 = 2$. Hasilnya $(n-1)n(n+1)$ akan habis dibagi 4.
Jika $n 	ext{ mod } 4 = 3$, maka $n-1 	ext{ mod } 4 = 2$ dan $n+1 	ext{ mod } 4 = 0$ (habis dibagi 4). Hasilnya $(n-1)n(n+1)$ akan habis dibagi 4.

Jadi, dalam kedua kasus (n genap atau n ganjil), hasil kali tiga bilangan berurutan $(n-1)n(n+1)$ selalu habis dibagi 4 (karena jika $n$ genap, $n$ habis dibagi 2, dan salah satu dari $n-1$ atau $n+1$ ganjil; jika $n$ ganjil, maka $n-1$ dan $n+1$ keduanya genap, dan salah satunya pasti habis dibagi 4 atau keduanya habis dibagi 2 yang hasil kalinya habis dibagi 4). Lebih tepatnya, dalam $(n-1)n(n+1)$, jika $n$ genap, $n$ habis dibagi 2, dan $n-1$, $n+1$ ganjil, jadi hasil kali habis dibagi 2. Jika $n$ ganjil, $n-1$ dan $n+1$ genap. Salah satunya habis dibagi 4 (karena mereka berbeda 2). Jadi hasil kali $(n-1)(n+1)$ habis dibagi 8. Maka $(n-1)n(n+1)$ habis dibagi 8 jika $n$ ganjil. 

Kesederhanaan: $(n-1)n(n+1)$ selalu habis dibagi 3 dan habis dibagi 2 (karena ada bilangan genap di antara $n-1, n, n+1$). Jadi $(n-1)n(n+1)$ habis dibagi $3 	imes 2 = 6$. 

Mari kita kembali ke $n^4 - n^2 = n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1)$.
Kita sudah tunjukkan habis dibagi 3.
Untuk habis dibagi 4:
Jika $n$ genap, $n=2k 
ightarrow n^2 = 4k^2$. Maka $n^2(n^2-1)$ habis dibagi 4.
Jika $n$ ganjil, $n^2$ ganjil, $n^2-1$ genap. $n^2-1 = (n-1)(n+1)$. Karena $n$ ganjil, $n-1$ dan $n+1$ adalah dua bilangan genap berurutan. Salah satunya habis dibagi 4, yang lain habis dibagi 2. Jadi hasil kali $(n-1)(n+1)$ habis dibagi 8. Maka $n^2(n^2-1)$ habis dibagi 8, dan oleh karena itu habis dibagi 4.

Jadi, $n^4 - n^2$ habis dibagi 3 dan habis dibagi 4.

Langkah 4: Gabungkan hasil.
Karena $n^4 - n^2$ habis dibagi 3 dan habis dibagi 4, dan 3 serta 4 adalah bilangan koprima (FPB(3, 4) = 1), maka $n^4 - n^2$ harus habis dibagi oleh hasil kali $3 	imes 4 = 12$.

Bukti Selesai.