Carilah turunan setiap fungsi berikut ini.

Turunannya adalah $\frac{2\sqrt{x+1} + 1}{6\sqrt{x+1}(x + \sqrt{x+1})^{2/3}}$.

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari fungsi $y = (x + \sqrt{x+1})^{1/3}$, kita akan menggunakan aturan rantai.

Misalkan $u = x + \sqrt{x+1}$. Maka $y = u^{1/3}$.

Turunan y terhadap u adalah:
$$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-2/3} = \frac{1}{3(x + \sqrt{x+1})^{2/3}} $$ 

Selanjutnya, kita perlu mencari turunan u terhadap x:
$$ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) $$ 
Turunan dari x adalah 1.
Untuk $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1})$, kita gunakan aturan rantai lagi. Misalkan $v = x+1$, maka $\sqrt{x+1} = v^{1/2}$.
$$ \frac{d}{dv}(v^{1/2}) = \frac{1}{2}v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} $$ 
Dan turunan v terhadap x adalah $\frac{dv}{dx} = 1$.
Jadi, $\frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Kembali ke $\frac{du}{dx}$:
$$ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x+1}} $$ 
Samakan penyebutnya:
$$ \frac{du}{dx} = \frac{2\sqrt{x+1} + 1}{2\sqrt{x+1}} $$ 

Sekarang, kalikan $\frac{dy}{du}$ dengan $\frac{du}{dx}$ untuk mendapatkan $\frac{dy}{dx}$:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3(x + \sqrt{x+1})^{2/3}} \cdot \frac{2\sqrt{x+1} + 1}{2\sqrt{x+1}} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x+1} + 1}{6\sqrt{x+1}(x + \sqrt{x+1})^{2/3}} $$