limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(cos^2(x)-1))

-8

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari sebuah limit fungsi trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim x -> 0 ((4x tan(2x))/(cos^2(x)-1))

Langkah 1: Perhatikan bahwa jika kita langsung substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 2: Gunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), yang dapat diubah menjadi sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. Namun, identitas yang lebih relevan di sini adalah 1 - cos^2(x) = sin^2(x). Maka, penyebutnya menjadi -sin^2(x).

Limit menjadi: lim x -> 0 ((4x tan(2x))/(-sin^2(x)))

Langkah 3: Gunakan sifat limit dan identitas trigonometri tan(x) = sin(x)/cos(x):
lim x -> 0 ((4x * (sin(2x)/cos(2x)))/(-sin^2(x)))

Langkah 4: Pisahkan suku-suku yang kita kenal limitnya:
lim x -> 0 (4x * sin(2x) / (-sin^2(x) * cos(2x)))

Langkah 5: Gunakan limit standar: lim x->0 (sin(ax)/ax) = 1 dan lim x->0 (tan(ax)/ax) = 1.
Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut:
lim x -> 0 ( (4x) * (2x) * (tan(2x)/(2x)) / (-(sin(x)/x)^2 * x^2 * cos(2x)) )

Agar lebih mudah, mari kita gunakan pendekatan berikut:
lim x->0 (sin(kx)/kx) = 1 dan lim x->0 (tan(kx)/kx) = 1.
Juga, lim x->0 (cos(x)) = 1.

Limitnya menjadi: lim x -> 0 ((4x * tan(2x)) / (-sin^2(x)))

Kita bisa menulis ulang sebagai:
lim x -> 0 (4x * (sin(2x)/cos(2x))) / (-sin^2(x))

= lim x -> 0 (4x * sin(2x)) / (-sin^2(x) * cos(2x))

Kita tahu bahwa sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
= lim x -> 0 (4x * 2sin(x)cos(x)) / (-sin^2(x) * cos(2x))

= lim x -> 0 (8x sin(x)cos(x)) / (-sin^2(x) * cos(2x))

Pisahkan menjadi:
= lim x -> 0 (8x / (-sin(x))) * (sin(x)/sin(x)) * (cos(x) / (sin(x) * cos(2x)))

= lim x -> 0 (-8x/sin(x)) * (cos(x) / (sin(x) * cos(2x)))

Gunakan lim x->0 (sin(x)/x) = 1, jadi lim x->0 (x/sin(x)) = 1.
= lim x -> 0 (-8 * (x/sin(x))) * (cos(x) / (sin(x) * cos(2x)))

= -8 * 1 * lim x -> 0 (cos(x) / (sin(x) * cos(2x)))

Ini masih belum benar karena ada sin(x) di penyebut yang akan menuju 0.

Mari kita gunakan pendekatan lain:
Limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(cos^2(x)-1))
Karena cos^2(x) - 1 = -sin^2(x)
Limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(-sin^2(x)))

Gunakan tan(2x) ≈ 2x dan sin(x) ≈ x untuk x mendekati 0.
Limit x -> 0 ((4x * (2x))/(-(x)^2))
Limit x -> 0 ((8x^2)/(-x^2))
Limit x -> 0 (-8)
= -8

Ini adalah pendekatan menggunakan aproksimasi. Untuk solusi yang lebih formal:
Limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(-sin^2(x)))
= Limit x -> 0 ( (4x) * (sin(2x)/cos(2x)) / (-sin^2(x)) )
= Limit x -> 0 ( 4x * sin(2x) / (-sin^2(x) * cos(2x)) )
= Limit x -> 0 ( 4x * (2sin(x)cos(x)) / (-sin^2(x) * cos(2x)) )
= Limit x -> 0 ( 8x sin(x)cos(x) / (-sin^2(x) * cos(2x)) )
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin^2(x):
= Limit x -> 0 ( (8x sin(x)cos(x)) / sin^2(x) ) * ( 1 / (-cos(2x)) )
= Limit x -> 0 ( 8x/sin(x) * cos(x)/sin(x) ) * ( 1 / (-cos(2x)) )
= Limit x -> 0 ( 8 * (x/sin(x)) * (cos(x)/sin(x)) ) * ( 1 / (-cos(2x)) )
Kita tahu lim x->0 (x/sin(x)) = 1. Namun, cos(x)/sin(x) = cot(x) yang menuju tak hingga.

Mari kita coba membagi dengan x^2:
Limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(cos^2(x)-1))
= Limit x -> 0 ((4x tan(2x))/(-sin^2(x)))
= Limit x -> 0 ( (4x / x) * (tan(2x) / x) / (-sin^2(x) / x^2) )
= Limit x -> 0 ( 4 * (tan(2x)/x) / -(sin(x)/x)^2 )
Sekarang kita manipulasi agar sesuai dengan limit standar:
= Limit x -> 0 ( 4 * (tan(2x)/(2x)) * 2 / -(sin(x)/x)^2 )
= Limit x -> 0 ( 8 * (tan(2x)/(2x)) / -(sin(x)/x)^2 )
Gunakan lim u->0 (tan(u)/u) = 1 dan lim u->0 (sin(u)/u) = 1.
= 8 * 1 / -(1)^2
= 8 / -1
= -8

Jadi, nilai limitnya adalah -8.